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1、 1 第 3 講 二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理 【2013 年高考會(huì)這樣考】 1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理. 2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題. 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 二項(xiàng)式定理的核心是其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式, 復(fù)習(xí)時(shí)要熟練掌握這個(gè)公式, 注意二項(xiàng)式定理在解決有關(guān)組合數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用. 基礎(chǔ)梳理 1.二項(xiàng)式定理 (a+b)n=C0 nan+C1 nan-1b+?+Cr nan-rbr+?+Cn nbn(n∈N*)這個(gè)公式所表示的定理叫二
2、項(xiàng)式定理,右邊的多項(xiàng)式叫(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式. 其中的系數(shù) Cr n(r=0,1,?,n)叫二項(xiàng)式系數(shù). 式中的 Cr nan-rbr叫二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),用 Tr+1表示,即通項(xiàng) Tr+1=Cr nan-rbr. 2.二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn) (1)項(xiàng)數(shù)為 n+1. (2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù) n,即 a 與 b 的指數(shù)的和為 n. (3)字母 a 按降冪排列,從第一項(xiàng)開(kāi)始,次數(shù)由 n 逐項(xiàng)減 1 直到零;字母 b 按升冪排
3、列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由零逐項(xiàng)增 1 直到 n. (4)二項(xiàng)式的系數(shù)從 C0 n,C1 n,一直到 Cn-1 n ,Cn n. 3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)對(duì)稱性:與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.即 Cr n=Cn-r n . (2)增減性與最大值: 二項(xiàng)式系數(shù) Ck n,當(dāng) k<n+12 時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大.由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的; 當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng) Cn2n取得最大值; 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)
4、Cn-12n,Cn+12n取得最大值. (3)各二項(xiàng)式系數(shù)和:C0 n+C1 n+C2 n+?+Cr n+?+Cn n=2n; C0 n+C2 n+C4 n+?=C1 n+C3 n+C5 n+?=2n-1. 3 答案 B 4. (2011·重慶)(1+3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展開(kāi)式中 x5與 x6的系數(shù)相等, 則 n=( ).A.6 B.7 C.8 D.9 解析
5、Tr+1=Cr n(3x)r=3rCr nxr 由已知條件 35C5 n=36C6 n 即 C5 n=3C6 n n!5! n- !=3 n!6! n- ! 整理得 n=7 答案 B 5.(2011·安徽)設(shè)(x-1)21=a0+a1x+a2x2+?+a21x21,則 a10+a11=________. 解析 Tr+1=Cr 21x21-r(-1)r=(-1)rCr 21x21-r 由題意知 a10,a11分別是含 x10和
6、x11項(xiàng)的系數(shù),所以 a10=-C11 21,a11=C10 21, ∴a10+a11=C10 21-C11 21=0. 答案 0 考向一 二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù) 【例 1】?已知在? ? ? ?? ? ? ? 3 x- 33 xn的展開(kāi)式中,第 6 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng). (1)求 n; (2)求含 x2的項(xiàng)的系數(shù); (3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng). [審題視點(diǎn)] 準(zhǔn)確記住二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解此類題的關(guān)鍵. 解 通項(xiàng)公式為 Tr+
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