【創(chuàng)新方案】2013年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第4講 數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教版

1、1第4講數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法【2013年高考會(huì)這樣考】1數(shù)學(xué)歸納法的原理及其步驟2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】復(fù)習(xí)時(shí)要抓住數(shù)學(xué)歸納法證明命題的原理，明晰其內(nèi)在的聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟，熟知每一步之間的區(qū)別聯(lián)系，熟悉數(shù)學(xué)歸納法在證明命題中的應(yīng)用技巧基礎(chǔ)梳理1歸納法由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法根據(jù)推理過(guò)程中考查的對(duì)象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法2數(shù)學(xué)

2、歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)Pn是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：①證明起始命題P1(或P0)成立；②在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以斷定Pn對(duì)一切正整數(shù)成立(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，其步驟為：①歸納奠基：證明當(dāng)取第一個(gè)自然數(shù)n0時(shí)命題成立；②歸納遞推：假設(shè)n＝k，(k∈N，k≥n0)時(shí)，命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立；③由①②得出結(jié)論兩個(gè)防范數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的

3、證明方法，第一步是遞推的“基礎(chǔ)”，第二步是遞推的“依據(jù)”，兩個(gè)步驟缺一不可，在證明過(guò)程中要防范以下兩點(diǎn)：(1)第一步驗(yàn)證n＝n0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值(2)第二步中，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在證明n＝k＋1時(shí)，命題也成立的過(guò)程中一定要用到它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法第二步關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”三個(gè)注意運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)n＝n0時(shí)成立，要弄清楚命題的含義(2)由假設(shè)n＝k成立證n＝k

4、＋1時(shí)，要推導(dǎo)詳實(shí)，并且一定要運(yùn)用n＝k成立的結(jié)論(3)要注意n＝k到n＝k＋1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)雙基自測(cè)3答案1?2k＋1??2k＋2?考向一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】?用數(shù)學(xué)歸納法證明：tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(n－1)αtannα＝－n(n∈N，n≥2)tannαtanα[審題視點(diǎn)]注意第一步驗(yàn)證的值，在第二步推理證明時(shí)要注意把假設(shè)作為已知證明(1)當(dāng)n＝2時(shí)，右邊＝－2＝－2＝＝tanαtantan2αt

5、anα21－tan2α2tan2α1－tan2α2α＝左邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N且k≥2)時(shí)，等式成立，即tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(k－1)αtankα＝－k，tankαtanα那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(k－1)αtankα＋tankαtan(k＋1)α＝－k＋tankαtan(k＋1)αtankαtanα＝＋1＋tankαtan(k＋1)α－(k

6、＋1)tankαtanα＝＋－(k＋1)tankαtanαtan?k＋1?α－tankαtan[?k＋1?α－kα]＝－(k＋1)tan?k＋1?αtanα這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立由(1)(2)知，對(duì)任何n∈N且n≥2，原等式成立用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，要注意第(1)步中驗(yàn)證n0的值，如本題要取n0＝2，在第(2)步的證明中應(yīng)在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上正確地使用正切的差角公式【訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的n∈N，＋＋…＋＝.11