新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座第29講 等比數(shù)列

1、第1頁共11頁普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué)[人教版]高三新高三新數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座第一輪復(fù)習(xí)教案（講座29）—等比數(shù)列等比數(shù)列一課標(biāo)要求：一課標(biāo)要求：1通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念；2探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式；3能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。二命題走向二命題走向等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)。客觀性的

2、試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識(shí)為工具。預(yù)測07年高考對本講的考察為：（1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的1~2道客觀題目；（2）關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題或知識(shí)交匯題的解答題也是重點(diǎn)；（3）解決問題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力

3、。三要點(diǎn)精講三要點(diǎn)精講1等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示q，即：：數(shù)列對于數(shù)列（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，它們的(0)q?1na?(0)naqq??公比依次是2，5，。（注意：“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不21?q為零）2等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：。)0(111?????qaqaann說明：（1）由

4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列1d?也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則。namnmnaqa??3等比中項(xiàng)如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比ba與GbGaGba與中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。4等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，123naaaa???nS123naaaa?????當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)q=1時(shí)，（錯(cuò)位相減法）。1?qqqaSnn??

5、?1)1(111nnaaqSq???1naSn?說明：（1）和各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式nSnqa1nnSqaa1第3頁共11頁選擇A。題型2：等比數(shù)列的判定例3（2000全國理，20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛cn｝，其中cn＝2n＋3n，且數(shù)列｛cn＋1－pcn｝為等比數(shù)列，求常數(shù)p；（Ⅱ）設(shè)｛an｝、｛bn｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn=anbn，證明數(shù)列｛cn｝不是等比數(shù)列。解析：（Ⅰ）解：因?yàn)椋鹀n＋1－pcn｝是等比

6、數(shù)列，故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1），將cn＝2n＋3n代入上式，得：［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］，即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］，整理得（2－p）（3－p）2n3n＝0，解得p=2或p=3。61（

7、Ⅱ）證明：設(shè)｛an｝、｛bn｝的公比分別為p、q，p≠q，cn=anbn。為證｛cn｝不是等比數(shù)列只需證c22≠c1c3。事實(shí)上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq，c1c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2），由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不為零，因此c22≠c1c3，故｛cn｝不是等比數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推

8、理和運(yùn)算能力。例4（2003京春，21）如圖3—1，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（n∈N），證明an是等比數(shù)列；證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30=。2ll63=sin30=，所以rn=rn－1（n≥2），于是a1=πr12=nnnnrrrr????112131，故an成等比數(shù)