拓撲學

1、點集拓撲學,主講人：吳洪博,第一章 集合論初步,§1.2 關(guān)系,等價關(guān)系,§1.1 集 合,§1.3 映 射,§1.4 集族及其運算,§1.5 可數(shù)集，不可數(shù)集,§1.6 基 數(shù),,,,,,,§1.1 集 合,重點:熟悉有關(guān)集合的等式和性質(zhì)難點:有關(guān)集合的有限笛卡爾積的等式和性質(zhì),,集合一詞，我們在高中階段已經(jīng)接觸過，在那里，集合是

2、指具有某種屬性的對象的全體.在這里，我們?nèi)圆捎脤系倪@種直觀的描述性定義，以后我們還將經(jīng)常遇到像這樣直觀的描述性定義或一些直觀的結(jié)論.雖然這樣做邏輯性差一些，不及公理集合論的嚴密性，但這樣做卻是我們易于理解和接受的，不致使讀者陷入邏輯困惑之中，從而盡快地進入拓樸­學基礎(chǔ)的學習程序.,,,,,,,,,,,,,,不含任何元素的集合稱為空集，用符號 表示.,規(guī)定空集是任意集合的子集.,含有有限個元素的集合叫做有限集，,

3、不是有限集的集合叫做無限集.,定義1.1.2 給定集合A,B,由A與B的全部元素構(gòu)成的集合叫做A與B的并集,記作 .,用描述法表示是:,.,定義1.1.3 給定集合A,B,由A和B的公共元素構(gòu)成的集合叫做A與B的交集,記作 .,,定義1.1.4 給定集合A,B，把由屬于A而不屬于B的元素構(gòu)成的集合叫做A與B的差集,記作 .,用描述法表示是

4、 .,而此時可稱B為全集，全集在一個問題中是事先指定的或者是不言自明的.,對于集合之間的運算，有時用圖象表示更直觀一些.在下面的圖1.1.1中，我們用兩個圓分別表示集合A,B，而用陰影部分表示兩個集合運算的結(jié)果.,圖1.1.1,觀察圖1.1.1我們不難得出下面的等式:,這樣做的好處在于將并集 轉(zhuǎn)化成互不相交的集合并集.該集合等式也可以用定義證明.,,

5、集合中的運算律,設(shè)X是全集，A，B，C是X的子集，則以下運算律成立：,(1)交換律,(2)結(jié)合律,(3)零元,單位元,(4)吸收律,(5)分配律,,(6)冪等律,(7)對合律,(8)對偶律,(9)互補律,,以上運算定律由定義或作圖不難驗證,我們僅以對偶律的驗證為例,其余讀者自己完成.,圖1.1.2,.,,雖然對于任意給定集合,它們的元素不必有序,但我們可以把集合的元素串在一起,這樣就可用線段或直線表示集合.進而將集合的笛卡爾積就

6、可用“平面圖形”直觀的表現(xiàn)出來.,,,,,（A-B）×（C-D）,圖1.1.3,該集合等式也可用定義證明,其過程讀者自己做為練習完成.,習題 1.1,1. 試判斷下列關(guān)系式的正確與錯誤,,,,,的元素.,,2. 設(shè),都是集合，其中,,證明：如果,, 則,,3. 設(shè),，即X有,個互不相同的元素，X的冪集P (X)有多少個互不相同,4. 設(shè),， 用列舉法給出P (X).,5. 設(shè)A，B是集合，證明,的充要條件是

7、 ,,，,的充要條件是,.,且,,；,,，,,，,,§1.2 關(guān)系,等價關(guān)系,重點：熟悉關(guān)系像，逆關(guān)系，復(fù)合關(guān)系和 等價關(guān)系的性質(zhì)難點：對命題演算知識的欠缺將影響性質(zhì) 證明的嚴謹性,,,,定義1.2.2 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,即,,,,,顯然，若,，集合B相對于關(guān)系R-1的象集就是集合,集合,.,,,(1),,,,證明：(1),當且僅當,,當且僅當,.,(1),,(2),,(3),

8、(4),，,,，,.,,,，,此時假設(shè),，由于,，因此,，,這與,,,，,,定義1.2.6 設(shè)R是集合X中的一個關(guān)系,如果,即對于任意,,有,,則稱關(guān)系R為自反的;,如果,,,即對于任何,,如果,,則,,則稱關(guān)系R為對稱的;,如果,,即對于任何,,,,,,.,有,,,,,,,例1.2.1 給出平面上的一個關(guān)系,,,,的意義,,,,,,～是平面 上的一個等價關(guān)系. 相對于等價關(guān)系～,,,即商集是由單點集,和以原點為中心的所有

9、圓,周組成的集合.,習 題 1.2,2. 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,證明下列條件,等價:,(1) 對于任意,，,6. 實數(shù)集合R中的一個關(guān)系定義為：,§1.3 映 射,重點：熟悉由映射所誘導(dǎo)的逆關(guān)系得所有性質(zhì)難點：對映射的逆關(guān)系性質(zhì)的理解,,,(4)f(X)叫映射f的值域.,,(3) (Y)=X,即映射f的定義域是X.,(6) f -1作為Y到X的關(guān)系有定義,但一般說來f -1不是一個從Y到X的映射

10、.,,.,(2)對 ,設(shè) 使得,因此， 是從X到Z的映射.,(2),(1),(2)由于,是關(guān)系,由定理1.2.2 ②可得,根據(jù)下面的定理1.3.3,一一映射又稱為可逆映射.,),并且也是一一映射,此外還有,如果f是個一一映射，則其逆關(guān)系f--1便是從Y到X的映射(因此可以寫作,定理1.3.3 設(shè)X和Y是兩個集合,又設(shè),.,,證明：結(jié)合定理1.3.1和單射、滿射定義容易證明,

11、 本定理,略.,,從關(guān)系出發(fā)定義映射的本意使得我們在本書的理論體系中除了“集合”和“元素”不再有任何未定義對象.但是，如果每次定義一個映射都要將映射寫成它的定義域與值域的笛卡爾積的一個子集，畢竟是件不太方便的事，因此在定義映射時仍采用我們習慣的方法：對定義域中的每一個元素指定值域中的唯一一個元素作為它的象.,,,,,定義1.3.6 設(shè)～是集合X中的一個等價關(guān)系.從集合X到它的商集 的自然投射定義為對于每一

12、個 這個自然投射用關(guān)系定義便是：,,習 題 1.3,1. 設(shè) 是一個滿射,關(guān)系 定義為：,其中 是 的簡寫.,2. 設(shè)X是一個給定集合，,證明集合的對稱差滿足交換群公理,即設(shè) 則,(3) 存在集合-A，使得,(4),① f是單射.,③ 對于任

13、意 ).,④ 對于任意,3. 設(shè)X和Y是兩個集合, ,證明,② 對于任意,§1.4 集族及其運算,重點:集族的交與并的理解難點：集族交與并的理解,,§1.5 可數(shù)集，不可數(shù)集,重點:可數(shù)集合的定義和性質(zhì) 難點：不可數(shù)集合的存在性,,對于有限集，我們今后使用下面的定義.定義1.5.1 設(shè)X是一個集合,

14、如果X是空集或者存在正整數(shù)使得集合X和集合{1,2,…,n}之間有一個一一映射,則稱集合X是一個有限集.,定義1.5.2 不是有限集的集合稱為無限集;如果存在一個從集合X到正整數(shù)集Z+的雙射,則稱集合X是一個可數(shù)無限集,不是可數(shù)無限集的無限集合稱為不可數(shù)集.有限集和可數(shù)無限集統(tǒng)稱為可數(shù)集.,,,定理1.5.1 如果C是Z+的一個無限子集,那么C是可數(shù)無限集.,,,,,,,.,習 題 1.5,§ 1.6 基 數(shù),,