2011年上學(xué)期拓?fù)鋵W(xué)考試試卷答案(b)

1、中南大學(xué)拓?fù)鋵W(xué)考試試卷參考答案（B）20092010學(xué)年二學(xué)期拓?fù)鋵W(xué)課程48學(xué)時，3.0學(xué)分，閉卷，總分100分，占總評成績70%時間:100分鐘專業(yè)年級：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2008級一、選擇題一、選擇題(將正確答案填入題后的括號內(nèi)將正確答案填入題后的括號內(nèi)每題每題3分，共分，共15分)1、B2、C3、A4、D5、C二、簡答題（每題二、簡答題（每題4分，共分，共2020分）分）1、空間1A答案：一個拓?fù)淇臻g如果在它的每一點處有一個可數(shù)鄰域基

2、，則稱這個拓?fù)淇臻g是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.1A2、空間0T答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中的任意兩個不相同的點中必有一個點XX有一個開鄰域不包含另一點，則稱拓?fù)淇臻g是空間.X0T3、列緊空間答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g.如果的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓XX撲空間是一個列緊空間.X4、同胚映射答案：設(shè)和是兩個拓?fù)淇臻g.如果是一個一一映射，并且和XY:fXY?f都是連續(xù)映射，則稱是一個同胚映射或同胚.1:fYX??f5、正

3、則空間答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中的任何一個點和任何一個不包含這個XX點的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱是正則空間.X三、判斷，并給出理由（三、判斷，并給出理由（2020分，每題分，每題5分，判斷分，判斷2分，理由分，理由3分）分）1、設(shè)是集合的兩個拓?fù)?，則不一定是集合的拓?fù)?)12TTX12?TTX答案:理由：理由：因為(1)是的拓?fù)?，故，，從?2TTX1X??T2X??T；(2)對任意的，則有且，由于12X???TT

4、12AB??TT1AB?T2AB?T2、設(shè)為拓?fù)淇臻g，證明是空間的充分必要條件是的每一獨點集都為()XTX1TX閉集.(10分)證明：證明：（必要性）設(shè)，，由為空間，故有y的開領(lǐng)域V，xX?cyx??()XT1T，所以，所以為開集，從而為閉集。..stxV?cVx?cxx（充分性）設(shè)，由條件知為閉集，故，xyXxy???xycxUy??U，，所以為空間。cyVx??U..stxVyU??()XT1T3、設(shè)是兩個拓?fù)淇臻g，是一個連續(xù)映射.

5、如果是一個緊致空間，XY:fXY?X證明是的一個緊致子集.(10分)()fXY證明：證明：設(shè)是的一個由中的開集構(gòu)成的覆蓋.對于任意，是A()fXYC?A1()fC?中的一個開集，由于從而有：XcCX???A111()()(())CCfCfCffXX??????????AA所以是的開覆蓋.由于是緊致空間，所以有一個有限1=()|fCC??1AAXX1A子覆蓋，設(shè)為.111()()nfCfC???因為，從而，即11111()()()nnfC