拓撲學習題

1、一、選擇題一、選擇題.1、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集的內(nèi)部是（A）QoQA、；B、；C、；D、.?QRQ?R2、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集的邊界是（D）QQ?A、；B、；C、；D、.?QRQ?R3、設是一個拓撲空間，是的子集，則下列關系正確的是（A）XABXA、；B、；()()()dABdAdB???ABAB???C、；D、.()()()dABdAdB???AA?4、設是一個拓撲空間，是的子集，則下列關系錯誤的是（C）XABXA、；B、；()(

2、)()dABdAdB???ABAB???C、；D、.()()()dABdAdB???AA?5、平庸空間的任一非空子集為（D）A、開集；B、閉集；C、既開又閉；D、非開非閉.6、離散空間的任一子集為（C）A、開集；B、閉集；C、既開又閉；D、非開非閉.7、設，是的拓撲，則的子空間123X?121312TX??XX的拓撲為（B）13A?A、；B、；1313T??1TA??C、；D、.1313TX??1TX??8、設，是的拓撲，則的子空間12

3、3X?121312TX??XX的拓撲為（B）23A?A、；B、；323T??23TA??C、；D、.2323TX??3TX??9、設是拓撲空間的積空間，是到的投射，126XXXX????…126XXX…pX1X則是（D）p2、設是集合的兩個拓撲，則不一定是的拓撲.（）12TTX12TT?X3、設為離散拓撲空間的任意子集，則.（√）AX()dA??4、若拓撲空間中存在一個既開又閉的非空真子集，則是一個不連通空間.（√）XX四、證明題四、證

4、明題.1、設是兩個拓撲空間，是一個映射，則以下條件等價：XY:fXY?（1）是一個連續(xù)映射；f（2）中的任何一個閉集的原像是一個閉集；YB1()fB?（3）對于中的任何一個子集，；XA()()fAfA?（4）對于中的任何一個子集，.YB11()()fBfB???2、設是兩個拓撲空間，，則映射連續(xù)對于每一點，映XY:fXY?f?xX?射在點處連續(xù).fx3、設A是一個由非空集合構成的族，并且A中的元素兩兩不相交，則存在集合使C得對每一個A，

5、是一個單點集.A?CA?4、設是從連通空間到拓撲空間的一個連續(xù)映射，則是的:fXY?XY()fXY一個連通子集.5、設是拓撲空間的一個連通子集，證明：如果和是的兩個無交的閉集YXABX使得，則或者，或者.YAB??YA?YB?6、設是拓撲空間的一個連通子集，證明：如果是的兩個無交的開集使YXABX得，則或者，或者.YAB??YA?YB?7、設是拓撲空間的一個連通子集，滿足，則也是的YXZX?YZY??ZX一個連通子集.8、設是兩個集合，