答案 拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)b

1、1東北大學(xué)秦皇島分校課程名稱：拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)（答案）試卷：B考試形式：閉卷授課專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)考試日期：2011年5月26日試卷：共3頁(yè)題號(hào)一二三總分得分閱卷人一、填空題：（每空2分，共30分）1.數(shù)字30的連通分支的個(gè)數(shù)是2，數(shù)字9的連通分支的個(gè)數(shù)是1。2數(shù)字8的割點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1。數(shù)字6的割點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮。3漢字“土”的指數(shù)為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5，指數(shù)為2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為無(wú)窮，指數(shù)為3的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，指數(shù)為4的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1。4給實(shí)數(shù)集賦予歐式拓

2、撲，則區(qū)間[01]的內(nèi)部是(01)，導(dǎo)集是[01]，閉包是[01]。5設(shè)，寫(xiě)出所有拓?fù)淦椒餐負(fù)洌x散拓?fù)?2X?，，。1X?2X?二、問(wèn)答題：（共30分）1.分別給出既開(kāi)又閉既不開(kāi)又不閉的集合的例子。（5分）答：雙曲線中每個(gè)連通分支都是既開(kāi)又閉的集合。（2分），取拓?fù)錇?，則2是既不開(kāi)又不閉的集合。（5分）123X?1X?注：例子不唯一，正確即可。2.敘述同胚映射的定義并給出一個(gè)不是同胚映射連續(xù)的滿開(kāi)映射。（5分）答：定義：拓?fù)淇臻g之間的

3、一個(gè)連續(xù)映射稱為同胚映射，若它是一一對(duì)應(yīng)且它的逆也是連續(xù)的。（3分）商映射在不是一一對(duì)應(yīng)時(shí)是一個(gè)不是同胚映射連續(xù)的滿開(kāi)映射。（5分）注：例子不唯一，正確即可。3.敘述空間、空間、空間的定義并給出不是空間的例子以及不是空間的0T1T2T0T2T空間的例子。（10分）1T答：設(shè)是拓?fù)淇臻g，若對(duì)其中任意兩點(diǎn)都存在其中一點(diǎn)的開(kāi)鄰域不包含另外一點(diǎn)，X則稱其為空間；（20T分）若對(duì)其中任意兩點(diǎn)都存在每一點(diǎn)的開(kāi)鄰域不包含另外一點(diǎn)，則稱其為空間；（4分

4、）1T若對(duì)其中任意兩點(diǎn)都存在各自的開(kāi)鄰域使得這兩個(gè)開(kāi)鄰域不相交，則稱其為空間；2T裝訂線裝訂線內(nèi)不要答題學(xué)號(hào)姓名班級(jí)3分）因?yàn)殚_(kāi)集的任意并集是開(kāi)集，所以是開(kāi)集。W（10分）2.證明第二可數(shù)空間是可分空間。證明：設(shè)是第二可數(shù)空間。為一組可數(shù)基。XT（2分），取，則這些構(gòu)成可數(shù)集合。BT????bB?bD及的每一鄰域，由于包含非空開(kāi)集，從而包含中成員。xX??xUUT（5分）所以。UD???這說(shuō)明。xD?（8分）從而XD?（10分）3.設(shè)是

5、緊空間到空間之間的連續(xù)滿射，證明是商映射。:fXY?X2TYf證明：由已知，是緊空間，是空間，是連續(xù)滿射。XY2T:fXY?，是閉集。由是緊空間，而緊空間的閉子集是緊的，從而是緊AX??AXA的。（3分）因?yàn)榫o空間在連續(xù)映射下的像是緊的，所以是緊的。（5分）()fA又是空間，而空間的緊子集是閉的，所以是閉的。（8分）Y2T2T()fA這說(shuō)明是閉映射。從而是商映射。（10分）f4.證明空間的緊子集是閉集。2T證明：設(shè)是空間，是緊子集。現(xiàn)證

6、明是開(kāi)集。（2分）X2TAcA，，由于是空間，所以分別存在與的不相交的開(kāi)鄰域cxA??aA?X2Txa與。（4分）aUaV由是的開(kāi)覆蓋，是緊子集，所以有有限的子覆蓋V|aAa?AA（6分）1naaVV?記，，則1iniaUU???1iniaVV???是的開(kāi)鄰域，，。（8分）UxVU???VA?所以。ccUVA??這說(shuō)明是開(kāi)集。（10分）cA5.證明有連通的稠密子集的拓?fù)淇臻g是連通的。證明：設(shè)是拓?fù)淇臻g，是稠密子集，是的既開(kāi)又閉的非空子集