2011年上學(xué)期拓撲學(xué)考試試卷答案(a)

1、中南大學(xué)拓撲學(xué)考試試卷參考答案（A）20092010學(xué)年二學(xué)期拓撲學(xué)課程48學(xué)時，3.0學(xué)分，閉卷，總分100分，占總評成績70%時間:100分鐘專業(yè)年級：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2008級注：此頁不作答題紙，請將答案寫在答題紙上一、選擇題一、選擇題(將正確答案填入題后的括號內(nèi)將正確答案填入題后的括號內(nèi)每題每題3分，共分，共15分)1、C2、B3、A4、A5、D二、簡答題（每題二、簡答題（每題3分，共分，共1515分）分）1、空間2A答案：一個拓

2、撲空間如果有一個可數(shù)基，則稱這個拓撲空間是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.2A2、空間：1T答案：設(shè)是一個拓撲空間，如果中的任意兩個不相同的點中每一個點都XX有一個開鄰域不包含另一點，則稱拓撲空間是空間.X1T3、不連通空間答案：設(shè)是一個拓撲空間，如果中有兩個非空的隔離子集使得XXAB則稱是一個不連通空間.ABX??X4、序列緊致空間答案：設(shè)是一個拓撲空間.如果中的每一個序列都有一個收斂的子序列，XX則稱拓撲空間是一個序列緊致

3、空間.X5、正規(guī)空間：答案：設(shè)是一個拓撲空間，如果中的任何兩個無交的閉集都各自有一個XX開鄰域，它們互不相交，則稱是正規(guī)空間.X三、判斷，并給出理由（三、判斷，并給出理由（2020分，每題分，每題5分，判斷分，判斷2分，理由分，理由3分）分）1、從拓撲空間到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射（）XY答案:√理由：理由：設(shè)是任一滿足條件的映射，由于是平庸空間，它中的開集只有:fXY?Y易知它們在下的原象分別是均為中的開集，從而連續(xù).Y?fX?

4、X:fXY?是的一個連通子集.()fXY3、證明：證明：對于，則，從而有互不相交的開鄰域和，cxA??()fxx?()fxxUV設(shè)，則是的開鄰域，且故是開集，從而1()WfUV???WxcxWA??cA是閉集.A4、證明：證明：(1)??????????????001212121211221212121201.2123XXAAAAAAAAAXCAXCCCdeMganAAXCXCXCCAAXCC??????????????????????

5、????????????????????????余可數(shù)余可數(shù)余可數(shù)余可數(shù)余可數(shù)余可數(shù)余可數(shù)由的定義，.此外，設(shè)，，或，則，，則其中，為至多可數(shù)集.根據(jù)公式，有設(shè)不失一般性，令其中為至多可數(shù)集，則TTTTTTT????????000123AXCXCX??????????????????余可數(shù)余可數(shù)由可知，為上的一個拓撲。TT(2)注意；??????1212XCXCXCC????????(3)對任意，則與分別為與的開鄰域，pqXpq????

6、XpUq＝－??qUXp??pq且，，因此，為空間。pqU?qpU???X余可數(shù)T1T設(shè)為的任何開鄰域，為的任何開鄰域，則，其pUpqUq12XpqUCUXC??＝－中，均為的至多可數(shù)子集，并且1C2CX????1212pqUUXCXCXCC??????????所以，非空間。??X余可數(shù)T2T(4)設(shè)是的任一個開覆蓋，任取，，則(C為X的至多可數(shù)AX0A?A0A??0AXC??集)記，因是的開覆蓋，故于是，1......nCcc?AXi