(點集拓撲學(xué)拓撲)第4章及半期復(fù)習(xí)

1、第4章連通性本章討論拓撲空間的幾種拓撲不變性質(zhì)，包括連通性，局部連通性和弧連通性，并且涉及某些簡單的應(yīng)用這些拓撲不變性質(zhì)的研究也使我們能夠區(qū)別一些互不同胚的空間41連通空間本節(jié)重點:掌握連通與不連通的定義.掌握如何證明一個集合的連通與否掌握連通性的拓撲不變性、有限可積性、可商性。我們先通過直觀的方式考察一個例子在實數(shù)空間R中的兩個區(qū)間（0，l）和［1，2），盡管它們互不相交，但它們的并（0，1）U［l，2）＝（0，2）卻是一個“整體”；

2、而另外兩個區(qū)間（0，1）和（1，2），它們的并（0，1）U（1，2）是明顯的兩個“部分”產(chǎn)生上述不同情形的原因在于，對于前一種情形，區(qū)間（0，l）有一個凝聚點1在［1，2）中；而對于后一種情形，兩個區(qū)間中的任何一個都沒有凝聚點在另一個中我們通過以下的定義，用術(shù)語來區(qū)別這兩種情形定義411設(shè)A和B是拓撲空間X中的兩個子集如果?????)()(ABBA則稱子集A和B是隔離的明顯地，定義中的條件等價于和同時成立，也就是說，A???BA???A

3、B與B無交并且其中的任何一個不包含另一個的任何凝聚點應(yīng)用這一術(shù)語我們就可以說，在實數(shù)空間R中，子集（0，1）和（1，2）是隔離的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔離的又例如，易見，平庸空間中任何兩個非空子集都不是隔離的，而在離散空間中任何兩個無交的子集都是隔離的定義412設(shè)X是一個拓撲空間如果X中有兩個非空的隔離子集A和B使得X=A∪B，則稱X是一個不連通空間；否則，則稱X是一個連通空間顯然，包含著多于兩個點的離散空間是不連通空間，而

4、任何平庸空間都是連通空間定理411設(shè)X是一個拓撲空間則下列條件等價：（l）X是一個不連通空間；（2）X中存在著兩個非空的閉子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；?（3）X中存在著兩個非空的開子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；?（4）X中存在著一個既開又閉的非空真子集證明（l）蘊涵（2）:設(shè)（1）成立令A(yù)和B是X中的兩個非空的隔離子集使得A∪B＝X，顯然A∩B=，并且這時我們有?BBBABBABXBB??????????)()()

5、(因此B是X中的一個閉子集；同理A也是一個X中的一個閉子集這證明了集合A和B滿足條件（2）中的要求（2）蘊涵（3）如果X的子集A和B滿足條件（2）中的要求，所以A、B為閉集，則由于這時有A＝B和B=，因此A、B也是開集，所以A和B也滿足條件（3）中的要A?????????????????????)()(()()())(())((ABBAYAYBBYAYAYBYBYA這說明A∩Y和B∩Y也是隔離子集然而（A∩Y）∪（B∩Y）＝（A∪B）∩

6、Y＝Y(jié)因此根據(jù)定理413，集合A∩Y和B∩Y中必有一個是空集如果A∩Y=，據(jù)上式?立即可見YB，如果B∩Y＝，同理可見YA???定理415設(shè)Y是拓撲空間X的一個連通子集，ZX滿足條件則?YZY??Z也是X的一個連通子集證明假設(shè)Z是X中的一個不連通子集根據(jù)定理413，在X中有非空隔離子集A和B使得Z=A∪B因此YAUB由于Y是連通的，根據(jù)定理414，?或者YA，??????????????BZBBABZAYZ?或者YB同理。???A這兩種

7、情形都與假設(shè)矛盾定理416設(shè)是拓撲空間X的連通子集構(gòu)成的一個子集族如果????Y，則是X的一個連通子集???????Y??Y???證明設(shè)A和B是X中的兩個隔離子集，使得，＝A∪B任意選取x∈??Y???，不失一般性，設(shè)x∈A對于每一個γ∈Γ，由于連通，根據(jù)定理4.1??Y????Y4，或者或者；由于x∈∩A，所以AY??BY???Y根據(jù)定理413，這就證明了是連通?????????BAYAY?????Y???的定理417設(shè)Y是拓撲空間X

8、中的一個子集如果對于任意x，y∈Y存在X中的一個連通子集使得x，y∈Y，則Y是X中的一個連通子集xyYxyY?證明如果Y=，顯然Y是連通的下設(shè)Y≠任意選取a∈Y，??容易驗證Y＝并且a∈應(yīng)用定理416，可見Y是連通的xyYyY??ayYyY??我們曾經(jīng)說過，拓撲學(xué)的中心任務(wù)便是研究拓撲不變性質(zhì)（參見22）所謂拓撲不變性質(zhì)，乃是為一個拓撲空間具有必為任何一個與其同胚的拓撲空間所具有的性質(zhì)事實上，如果拓撲空間的某一個性質(zhì)，它是藉助于開集或者