點(diǎn)集拓?fù)涞膶W(xué)習(xí)

1、1點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)教學(xué)之我見摘要：要：點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)是一門抽象的學(xué)科，學(xué)生學(xué)起來比較困難，因此教師在講授的過程中應(yīng)該多聯(lián)系大學(xué)中的一些基礎(chǔ)課程，多舉一些簡單易懂且具有代表性的例子，使得學(xué)生深刻理解有關(guān)概念和理論。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)；教學(xué)；線性空間；數(shù)學(xué)分析拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)的概念、理論和方法已經(jīng)廣泛地滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)、自然科學(xué)以及社會(huì)科學(xué)的許多領(lǐng)域，并且有了日益重要的應(yīng)用，因此學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)的基本知識，不僅是

2、為了學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)提供必要的基礎(chǔ)知識，而且能從較高觀點(diǎn)去觀察、分析數(shù)學(xué)各科的內(nèi)容，加深對這些內(nèi)容的認(rèn)識和理解。由于拓?fù)涞囊恍┗靖拍顚τ诔鯇W(xué)者來說是比較抽象的，因此有必要結(jié)合線性空間及數(shù)學(xué)分析的一些原理進(jìn)行區(qū)別與聯(lián)系，從而起到事半功倍的效果。一、區(qū)別線性結(jié)構(gòu)與同構(gòu)映射，講解拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與同胚映射。、區(qū)別線性結(jié)構(gòu)與同構(gòu)映射，講解拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與同胚映射。線性結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是空間的兩大結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，分清兩者的關(guān)系和區(qū)別對于初學(xué)者來說并

3、不是很容易的一件事情，因此在教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，講清兩者的關(guān)系，這樣可以使學(xué)生更深刻的理解拓?fù)淇臻g及其連續(xù)映射的相關(guān)概念。在講解拓?fù)淇臻g的概念時(shí)，我們指出拓?fù)淇臻g是一個(gè)集合裝備上拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)后的空間，拓?fù)淇臻g中的元素就是集合中的元素，拓?fù)涫且恍M足某些性質(zhì)的開集族，但如果裝備不同的拓?fù)鋭t有不同的拓?fù)淇臻g。而線性空間是一個(gè)滿足加法和數(shù)量乘法封閉的集合。例如：我們經(jīng)常用到的實(shí)數(shù)空間R它既可以看作一個(gè)線性空間，它的線性結(jié)構(gòu)就是我們通

4、常定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算，也可以看作一個(gè)拓?fù)淇臻g，它的拓?fù)渚褪菍?shí)軸上的所有開集所構(gòu)成的開集族，它滿足拓?fù)涞娜龡l性質(zhì)，實(shí)質(zhì)它是一個(gè)特殊的拓?fù)渚€性空間。又如我們定義集合A=123，定義拓?fù)?，1，2，3，它是我們平1T?3點(diǎn)。根據(jù)這些性質(zhì)，我們又可以定義四類拓?fù)淇臻g：緊空間、可數(shù)緊空間、序列緊空間、列緊空間。從中我們對這些空間就產(chǎn)生了濃厚的求知欲望和學(xué)習(xí)興趣。拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究圖形在連續(xù)變換下不變的性質(zhì)?？蓞⒖窗倏频摹巴?fù)洹被?/p>

5、“拓?fù)鋵W(xué)”條目。我下面引述的例子不多作解釋，可以直接查到。例如，Euler的七橋問題就是一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的問題，因?yàn)榘哑邩蜻B成路徑，不論橋和路如何連續(xù)的變化，都不影響問題的結(jié)果，也就是說，這個(gè)問題研究的是一個(gè)連續(xù)變換下不變的性質(zhì)。又如，四色定理（地圖可用四色著色）是一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的問題，因?yàn)榈貓D中的區(qū)域大小和具體形狀在問題中并不重要，都可以連續(xù)的變化，不改變地圖可以用四色著色這一性質(zhì)。所以，在拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)下，圓和三角形的性質(zhì)沒有什么區(qū)別，輪胎和戒

6、指的性質(zhì)沒有什么區(qū)別，因?yàn)樗鼈兌伎梢酝ㄟ^連續(xù)變換互相得到。另一方面，研究圖形面積的幾何就不是拓?fù)鋵W(xué)，因?yàn)樵谶B續(xù)變換下，面積可以變化。同樣的道理，圖形的大小、平行、對稱、垂直等等都不是拓?fù)鋵W(xué)的研究領(lǐng)域?？梢钥吹?，拓?fù)鋵W(xué)研究的性質(zhì)對圖形的要求很低（一定程度變了形都沒關(guān)系），所以它的應(yīng)用范圍也就十分廣泛，因而成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。以至于許多看起來跟幾何圖形沒多大關(guān)系的地方，也可以應(yīng)用拓?fù)鋵W(xué)的知識。如分析學(xué)中就大量使用點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的術(shù)語和手段。

7、拓?fù)鋵W(xué)因研究的領(lǐng)域和方法的不同，有一些分支。如一般拓?fù)鋵W(xué)，又稱點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，是研究一組抽象的“點(diǎn)”（可以是幾何上的，也可以不是）的拓?fù)湫再|(zhì)的；代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，利用代數(shù)學(xué)的手段研究拓?fù)湫再|(zhì)，如同倫論和同調(diào)論；微分拓?fù)鋵W(xué)，利用分析學(xué)的手段（主要是微分）研究拓?fù)湫再|(zhì)；幾何拓?fù)鋵W(xué)，研究幾何意義明顯的東西（成為流形），如扭結(jié)；等等。參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)[1]熊金城，點(diǎn)集拓?fù)渲v義，第三版，高等教育出版社[2]C.T.C.Wall拓?fù)鋵W(xué)的幾何導(dǎo)引，高等教育出版