《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》§緊致空間

1、第7章緊致性緊致性7.17.1緊致空間緊致空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握緊致子集的定義及判斷一個(gè)子集是緊致子集的方法（這些方法哪些是充要條件）；掌握緊致性是否是連續(xù)映射可保留的，是否是可遺傳的、有限可積的在5.3中，我們用關(guān)于開(kāi)覆蓋和子覆蓋的術(shù)語(yǔ)刻畫(huà)了一類拓?fù)淇臻g，即Lindeloff空間現(xiàn)在來(lái)仿照這種做法，即將Lindeloff空間定義中的“可數(shù)子覆蓋”換成“有限子覆蓋”，以定義緊致空間讀者在數(shù)學(xué)分析中早已見(jiàn)過(guò)的Heine－Bel定理斷言：實(shí)數(shù)空

2、間R的任何一個(gè)子集為有界閉集的充分必要條件是它的每一個(gè)開(kāi)覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋（在7.3中我們將要推廣這個(gè)定理）因此我們現(xiàn)在作的事也應(yīng)當(dāng)在意料之中定義7.1.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果X的每一個(gè)開(kāi)覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)緊致空間明顯地，每一個(gè)緊致空間都是Lindeloff空間但反之不然，例如包含著無(wú)限但可數(shù)個(gè)點(diǎn)的離散空間是一個(gè)Lindeloff空間，但它不是一個(gè)緊致空間例7.1.1實(shí)數(shù)空間R不是一個(gè)緊致空間這是因?yàn)槿绻?/p>

3、們?cè)O(shè)A＝（－n，n）R|b∈Z則A的任何一個(gè)有限子族由于它的并為(maxmax)所以不是R的一個(gè)子覆蓋因此R的開(kāi)覆蓋A沒(méi)有任何一個(gè)有限子覆蓋定義7.1.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是X中的一個(gè)子集如果Y作為X的子空間是一個(gè)緊致空間，則稱Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)緊致子集根據(jù)定義，拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)子集Y是X的緊致子集意味著每一個(gè)由子空間Y中的開(kāi)集構(gòu)成的Y的開(kāi)覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋，這并不明顯地意味著由X中的開(kāi)集構(gòu)成的每一個(gè)Y的覆蓋都有有限子覆蓋所以

4、陳述以下定理是必要的所以A是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋于是A有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為從而這說(shuō)明F不具有有限交性質(zhì)矛盾“”，設(shè)X中的每一個(gè)具有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空的交為證明X是一個(gè)緊致空間，設(shè)A是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋我們需要證明A有一個(gè)有限子覆蓋如果A=，則，這蘊(yùn)涵X=以及A的每一個(gè)子族都是X的覆蓋以下假定A≠此時(shí)F=|A∈A便是X中的一個(gè)非空閉集族，并且因此，它不具有有限交性質(zhì)也就是說(shuō)，它有一個(gè)有限子族其交為空集設(shè)F的這個(gè)有限子族為，則是X的一個(gè)有限

5、子覆蓋如果B是緊致空間X的一個(gè)基，那么由B中的元素構(gòu)成的X的一個(gè)覆蓋當(dāng)然是一個(gè)開(kāi)覆蓋，因此有有限子覆蓋下述定理指出，為驗(yàn)證拓?fù)淇臻g的緊致性，只要驗(yàn)證由它的某一個(gè)基中的元素組成的覆蓋有有限子覆蓋定理定理7.1.37.1.3設(shè)BB是拓?fù)淇臻g是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基，并且的一個(gè)基，并且X的由的由BB中的元素構(gòu)成的每一個(gè)中的元素構(gòu)成的每一個(gè)覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋則覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋則X是一個(gè)緊致空間是一個(gè)緊致空間證明A設(shè)是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋對(duì)于每一個(gè)A