§8.6 空間向量及其運算理

1、,,,山東金榜苑文化傳媒集團(tuán),,步步高大一輪復(fù)習(xí)講義,空 間 向 量 及 其 運 算,空間向量與立體幾何,空間向量及其運算,立體幾何中的向量方法,空間向量的加減運算,空間向量的數(shù)乘運算,空間向量的數(shù)量積運算,空間向量的坐標(biāo)運算,共線向量定理,共面向量定理,空間向量基本定理,平行與垂直條件,向量夾角及距離,直線的方向向量與平面的法向量,求空間角,求空間距離,線線角,線面角,面面角,憶 一 憶 知 識 要 點,1.空間向量的

2、有關(guān)概念 (1)空間向量：在空間中，具有_____和_____的量叫做空間向量． (2)相等向量：方向_____且模_____的向量． (3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相___________的向量． (4)共面向量：__________________的向量．,大小,方向,相同,相等,平行或重合,平行于同一個平面,2.共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理

3、 (1)共線向量定理 對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.,憶 一 憶 知 識 要 點,憶 一 憶 知 識 要 點,互相垂直,憶 一 憶 知 識 要 點,(2)空間向量數(shù)量積的運算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c

4、.,憶 一 憶 知 識 要 點,憶 一 憶 知 識 要 點,憶 一 憶 知 識 要 點,③,2,②③④,空間向量的線性運算,用已知向量來表示未知向量,一定要結(jié)合圖形,以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量,我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則.在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則,向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立.,共線、共面向量

5、定理的應(yīng)用,共線、共面向量定理的應(yīng)用,共線、共面向量定理的應(yīng)用,共線、共面向量定理的應(yīng)用,共線、共面向量定理的應(yīng)用,在求一個向量由其他向量來表示的時候，通常是利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近,進(jìn)行求解，若要證明兩直線平行,只需判定兩直線所在的向量滿足線性a＝λb關(guān)系,即可判定兩直線平行.,空間向量性質(zhì)的應(yīng)用,證明兩條直線垂直，一般是用兩條直線的方向向量的數(shù)量積等于0來加以證明的．

6、,已知 a＝(x, 4, 1) , b＝(－2, y, －1) , c＝(3,－2, z) , a∥b，b⊥c. 求: (1)a，b，c； (2)(a＋c)與(b＋c)夾角的余弦值．,于是 c＝(3, －2, 2)．,已知 a＝(x, 4, 1) , b＝(－2, y, －1) , c＝(3,－2, z) , a∥b，b⊥c. 求: (1)a，b，c； (2)(a＋c)與(

7、b＋c)夾角的余弦值．,,,09,“兩向量平行”和“兩向量同向”不清致誤,(5分)已知向量a＝(1, 2, 3), b＝(x, x2＋y－2, y), 并且a, b同向, 則x, y的值分別為__________．,(1)a與b同向是a∥b的充分而不必要條件.a∥b是a與b同向的必要而不充分條件． (2)錯因分析:兩向量平行和兩向量同向不是等價的,同向是平行的一種情況.兩向量同向能推出兩向量平行,但反過來不成立,也就是說

8、,“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件.錯解就忽略了這一點.,答案 1，3,,1．熟練掌握空間向量的運算、性質(zhì)及基本定理是解決空間向量問題的基礎(chǔ)，特別是共線向量定理、共面向量定理、空間向量基本定理、數(shù)量積的性質(zhì)等． 2．利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算或證明去解決問題，在這里，恰當(dāng)?shù)剡x取基底可使向量運算簡捷，或者是建立空間直角坐標(biāo)系，使立體

9、幾何問題成為代數(shù)問題，在這里，熟練準(zhǔn)確地寫出空間中任一點的坐標(biāo)是解決問題的基礎(chǔ)．,,1.利用坐標(biāo)運算解決立體幾何問題,降低了推理難度,可以避開一些較復(fù)雜的線面關(guān)系,但較復(fù)雜的代數(shù)運算也容易導(dǎo)致出錯.因此,在解決問題時,可以靈活的選用解題方法,不要生搬硬套. 2.用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點間距離或某一線段的長度，一般用向量的模來解決；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線

10、所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 3.空間向量的加法、減法經(jīng)常逆用,來進(jìn)行向量的分解. 4.幾何體中向量問題的解決，選好基底是關(guān)鍵.,一、選擇題,二、填空題,A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練題組,,三、解答題,8.已知△ABC的頂點A(1, 1, 1) , B(2, 2, 2) , C(3, 2, 4).試求 (1)△ABC的重心坐標(biāo)； (2)△ABC的面積；(3)△AB

11、C的AB邊上的高．,三、解答題,一、選擇題,二、填空題,,B組　專項能力提升題組,5. ①②,三、解答題,7.如圖,已知M, N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心,且G為AM上一點,且GM:GA＝1:3. 求證：B, G, N三點共線.,8. 直三棱柱ABC—A′B′C ′中, AC＝BC＝AA′,∠ACB＝90°, D, E分別為AB, BB′的中點. (1)求證：CE⊥A′D； (2)求異面直線CE與

12、AC ′所成角的余弦值．,三、解答題,8. 直三棱柱ABC—A′B′C ′中, AC＝BC＝AA′,∠ACB＝90°, D, E分別為AB, BB′的中點. (1)求證：CE⊥A′D； (2)求異面直線CE與AC ′所成角的余弦值．,三、解答題,·,點、線、面之間的位置關(guān)系,,空間幾何體,空間幾何體的結(jié)構(gòu),空間幾何體的體積、表面積,柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征,三視圖與直觀圖的畫法,具有大小和方向的量,向量的大小

13、,長度為零的向量,模為 1 的向量,長度相等且方向相反的向量,長度相等且方向相同的向量,,方向相同或相反的非零向量,常用 e 表示,與任一向量共線.,1. 空間向量的有關(guān)概念及表示法,具有大小和方向的量,減法:三角形法則,加法:三角形法則或平行四邊形法則,數(shù)乘:ka, k為正數(shù),負(fù)數(shù),零,加法交換律,加法結(jié)合律,數(shù)乘分配律,加法交換律,加法結(jié)合律,數(shù)乘分配律,1. 空間向量的有關(guān)概念及表示法,具有大小和方向的量,A, P, B三點共

14、線,P, A, B,C四點共面,(A, B, C三點不共線),判斷三點共線,或兩直線平行,判斷四點共面,或直線平行于平面,2. 空間向量的有關(guān)定理及推論,1.數(shù)量積的定義：,2.向量的夾角定義：,3.向量的垂直：,4.投影：,5.數(shù)量積的幾何意義：,的方向上的投影 的乘積.,數(shù)量積 等于 的長度 與 在,6.數(shù)量積的運算律：,7.數(shù)量積的主要性質(zhì):,(判斷兩個向量是否垂直),(求兩個向量的夾角),(向

15、量不等式),(求向量的長度(模)的依據(jù)),8.向量的直角坐標(biāo)運算.,一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).,設(shè) A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), 則,M=(x,y,z),若M是線段AB的中點，,8.向量的直角坐標(biāo)運算.,9. 空間向量的坐標(biāo)計算,可知 共面,,又 不共線,,所以MN//平面CDE.,

16、,,,,,,,,A,B,C,D,E,F,N,M,例3.在平行六面體AC1中，AB=AD, ∠ A1AD=∠A1AB= ∠DAB=60º.(1)求證：AA1 ⊥BD;(2)當(dāng)　　的值為多少時,才能使AC1⊥平面A1BD.請證明.,證明:,,,,,,,P,B,O,C,A,,,,,,,,,P,A,B,O,,,D,,,,,,,,,,,,【4】已知 是空間向量的一個基底,則下列向量中可以與向量