§2 方陣的特征值 與特征向量

1、，解方程（A－E）x = 0由,～,得基礎(chǔ)解系,例3 求矩陣,的特征值和特征向量,解 (1)由︱A－λE︱=0,求A的全部特征值。,得A的特征值為,(2)由(A－λE)x = 0,求A的特征向量。,當(dāng),時,,解方程（A+E）x = 0,由,～,得基礎(chǔ)解系,所以對應(yīng)于,的全部特征向量為 ，,解方程（A－2E）x = 0 ,由,～,得基礎(chǔ)解系,例4 設(shè)λ是方陣A的特征值,,證 因?yàn)棣?/p>

2、是方陣A的特征值,設(shè)為P ≠0,使 AP = λP,于是,例5 設(shè)3階方陣A滿足,求A的特征值,解 設(shè)λ是A的特征值, x是 A 的關(guān)于 λ 所對應(yīng)的特征向量,則Ax = λx，從而,又 x≠0,,所以,從而,即 λ(λ－1)(λ－2) = 0,故 得A的特征值為：,例6 若λ是可逆陣A的特征值 , x 是 A的關(guān)于λ所對應(yīng)的特征向量,則,證,。,。,。,由上面

3、各例類推,不難證明,若 λ是A的特征值, 則λk是Ak的特征值，,例7 設(shè)有4階方陣A滿足︱A+3E︱=0,,解,四、特征值與特征向量的有關(guān)定理,定理2　設(shè)　λ1，λ2，…　，λm　是A的m個特征值，p1， p2 ,… , 　pm依次是與之對應(yīng)的特征向量，若λ1，λ2，…，λm各不相同，則p1，　p2，…　，pm線性無關(guān)．,⑴,⑵,在（2）兩邊左乘A，,⑶,依次做下去,(m),將上面m個式子聯(lián)立成線性方程組,得向量方程組,由于系數(shù)行列