一類在邊界上逗留后隨機(jī)跳的擴(kuò)散過程.pdf

1、對(duì)于在有限區(qū)間(r0，r1)上的擴(kuò)散方程u1=uxx，通常加上初始條件u(0，x)=f(x)和兩個(gè)邊界條件p，u(t，r)+(-1)'q1ux(t，r)=0，i=0，1，這樣得到有經(jīng)典邊界條件的擴(kuò)散方程。然而，各種概率因素以及長期以來在基因模型中出現(xiàn)的在邊界上有概率質(zhì)量聚集的現(xiàn)象使我們清晰地認(rèn)識(shí)到除了經(jīng)典的邊界條件外還存在一類新的邊界條件。從物理的角度說，存在這樣的過程，它在邊界上被吸收，然后在該點(diǎn)逗留一段有限的時(shí)間后又滲入到區(qū)域內(nèi)部。

2、 為刻劃這一現(xiàn)象，1954年Feller在邊界上引入了有限的逗留時(shí)間并且把這類過程稱為''基本的返回過程''’。這是一類重要的過程，F(xiàn)eller指出通過把“基本返回過程”加上任意的“彈性邊界過程”我們可以得到與Kolmolgrov向后方程相聯(lián)系的所有擴(kuò)散過程。Karlin(1981)指出，對(duì)于一個(gè)擴(kuò)散過程非零的逗留時(shí)間不可能在區(qū)域內(nèi)部點(diǎn)發(fā)生，也就是說指數(shù)逗留時(shí)間僅僅只在邊界點(diǎn)上可能發(fā)生?；谶@些結(jié)果，本論文討論按以下方式得到的在

3、Dc Rd中的過程：在擊中邊界以前，過程與在D中的擴(kuò)散過程一致，當(dāng)?shù)竭_(dá)邊界ζ∈()DD時(shí)，過程在該點(diǎn)等待一段獨(dú)立的服從指數(shù)分布的時(shí)間，然后離開ζ按分布vζ跳到D內(nèi)，過程又重新開始。這樣的機(jī)制在每次擊中邊界后獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行。我們把按這種方式得到的過程稱為在邊界上逗留后隨機(jī)跳的擴(kuò)散過程(簡寫成DHJ)。注意到由于指數(shù)逗留時(shí)間的無記憶性，這樣的過程仍然是馬氏過程，但不可逆。通過預(yù)解算子的方法，我們得到能唯一決定DHJ過程的生成元；我們證明該過

4、程指數(shù)收斂到平穩(wěn)分布并且收斂速度是某一微分算子的譜隙。從PDE的角度說，在邊界上逗留后隨機(jī)跳的擴(kuò)散過程對(duì)應(yīng)于非局部邊界條件和粘性邊界條件。 具體地，本文的結(jié)構(gòu)如下：第一章給出了問題產(chǎn)生的背景，研究現(xiàn)狀及本文的主要工作；第二章研究了在邊界上逗留后隨機(jī)跳的布朗運(yùn)動(dòng)，我們用預(yù)解算子的方法得到其無窮小生成元，因?yàn)闊o窮小生成元的定義域本質(zhì)上就是預(yù)解算子的值域，知道這個(gè)值域和微分算子形式就能唯一地決定無窮小生成元；由于DHJ過程產(chǎn)生的半群不

5、是強(qiáng)連續(xù)的，為利用強(qiáng)連續(xù)半群的一些漂亮性質(zhì)，在第三章中我們證明其對(duì)偶半群是強(qiáng)連續(xù)的，然后由譜半徑公式得到遍歷性并且最后由對(duì)偶得到遍歷定理；第四章討論了Feller在1954年引入的更廣的一類過程--一維Feller擴(kuò)散過程，F(xiàn)eller擴(kuò)散過程允許有從邊界到邊界的跳發(fā)生，即不僅僅局限于從邊界到內(nèi)部的跳，在這一章中，我們給出了一維Feller擴(kuò)散過程的平穩(wěn)分布；在第五章，我們討論了一些相關(guān)的問題，給出了DHJ過程對(duì)應(yīng)的PDE問題及特征值與