高等代數(shù)試卷及答案

1、一、填空題（共 10 題，每題 2 分，共 20 分） 。1． 多項式可整除任意多項式。2．艾森施坦因判別法是判斷多項式在有理數(shù)域上不可約的一個 條件。3．在 階行列式 中， 的個數(shù)多于 個是 。 n D 0 0 D ?4．若 是 階方陣，且秩 ，則秩。 A n 1 A n ? ? A? ?5．實數(shù)域上不可約多項式的類型有 種。6．若不可約多項式 是 的 重

2、因式，則 是 的 重因 ( ) p x ( ) f x k ( ) p x ( 1) ( ) k f x ?式。7．寫出行列式展開定理及推論公式 。8．當排列 是奇排列時，則 可經過 數(shù)次對換變成 。 1 2 n i i i ? 1 2 n i i i ? 12 n ?9．方程組 ，當滿足 條件時，有

3、唯一解，唯一解1 2 31 2 32 2 2 3 21 21 x x xax bx cx da x b x c x d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?為 。10．若 ，則，。 2 4 2 ( 1) 1 x ax bx ? ? ? ? a ? b ?二、判斷題（共 10 題，每題 1 分， 共 10 分） 。1．任何兩個多項式的最大公因式不因數(shù)域的擴大而改變。 （

4、 ）2．兩個多項式互素當且僅當它們無公共根。 （ ）3．設 是 中 個向量，若 ，有 線性相關，則 1 2 n ? ? ? ? n P n n P ? ? ? 1 2 , n ? ? ? ? ?線性相關。 （ ） 1 2 n ? ? ? ?4.設 是某一方程組的解向量， 為某一常數(shù)，則 也為該方程組的解向量。 ? k k?（ ） 5．若

5、一整系數(shù)多項式 有有理根，則 在有理數(shù)域上可約。 ( ) f x ( ) f x（ ）6 秩 ＝秩 ，當 且僅當秩 。 （ ） ( ) A B ? A 0 B ?7．向量 線性相關 它是任一向量組的線性組合。 （ ） ? ?8． 若 ，且 ，則 。 ( ), ( ) [ ] f x g x P x ? ( ( ), ( )) 1 f x g x ? ( ( ) ( ), ( ) ( )) 1

6、 f x g x f x g x ? ?（ ） 9． ，且 為本原多項式，若 則 ( ), ( ) [ ] f x g x Z x ? ( ) g x ( ) ( ) ( ) f x g x h x ?。 （ ） ( ) [ ] h x Z x ?10．若 ，則 。 （ ） , , , n n A B C D P ? ? A B AD BC C D ? ?1 2 3 41 2 3 41 2 3 4

7、1 2 3 45 02 3 03 8 03 9 7 0x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4．設 ，判斷 是否可逆，若可逆，求0 1 21 1 42 1 0A? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A 1 A?五、證明題（共 4 題，每題 8 分， 共 32 分） 。1．設 為 矩陣，如果 ，那么秩 ＋秩 。 , A B n

8、 n ? 0 AB ? ( ) A ( ) B n ?2．如果 是 的一個 重根，證明 是 a ( ) f x ??? k a的一個 重根。 ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2x a g x f x f a f x f a ? ? ? ? ? ? ? 3 k ?3．證明：cos 1 0 0 0 01 2cos 1 0 0 00 1 2cos 0 0 0cos0 0 0 2cos 1 00 0 0 1 2cos 10 0 0

9、 0 1 2cosn D n???????? ????? ? ? ? ? ? ????4．設向量組 1 2 , , , (1) s ? ? ? ?1 2 , , , (2) t ? ? ? ?1 2 1 2 , , , , , , (3) s t ? ? ? ? ? ?? ? ?的秩分別為 ，證明 。 1 2 3 , , r r r 1 2 3 1 2 max{ , } r r r r r ? ? ?答案 答案一．1．零次 2.充