《高等代數(shù)教案》ppt課件

1、高等代數(shù)(Higher Algebra),張禾瑞 郝鈵新高教出版社（第五版）,,課件制作深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院：王曉峰,Ch.1 基本概念,Ch.2 多項(xiàng)式,Ch.3 行列式,Ch.4 線性方程組,Ch.5 矩陣,,Ch.6 線性空間,Ch.7 線性變換,Ch.8 歐幾里得空間,Ch.9 二次型,Ch.10,Ch. 1,Ch.2,Ch.3,Ch.4,Ch.5,Ch.6,Ch.7,Ch.8,Ch.9,Ch.10,一般性介紹,

2、,數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，解析幾何,,數(shù)學(xué)基礎(chǔ): 數(shù)理邏輯-公理集合論, 證明論, 模型論, 遞歸論,數(shù)學(xué)分析,,實(shí)變函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)論，多復(fù)變函數(shù)論，測度論，泛函分析，變分法，函數(shù)逼近論，非標(biāo)準(zhǔn)分析，小波分析，分形幾何，常微分方程，偏微分方程， 積分方程， 動(dòng)力系統(tǒng), 特殊函數(shù)，數(shù)值分析, 計(jì)算方法, …..,高等代數(shù),,數(shù)論, 近世代數(shù)，線性代數(shù), 群論, 域論與伽羅瓦理論, 環(huán)與代數(shù), 模論, 范疇

3、論代數(shù)K理論, 同調(diào)代數(shù), 李代數(shù), 序與格, 離散數(shù)學(xué), 計(jì)算機(jī)科學(xué), 矩陣論,密碼學(xué), ……,解析幾何,,高等幾何, 代數(shù)幾何, 微分幾何, 凸集幾何與距離幾何, 一般拓?fù)鋵W(xué), 代數(shù)拓?fù)鋵W(xué), 流形拓?fù)鋵W(xué), 分形幾何, 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì), 計(jì)算機(jī)圖形學(xué), ……,概率論,,數(shù)理統(tǒng)計(jì), 隨機(jī)過程, 統(tǒng)計(jì)學(xué), 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué), ……,其它,,生物數(shù)學(xué), 模糊數(shù)學(xué), 運(yùn)籌學(xué), 控制理論, 通信與信息理論, 優(yōu)化理論

4、, 計(jì)算數(shù)學(xué), .….,計(jì)算機(jī)有關(guān)的課程,,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu), 計(jì)算機(jī)原理, C++語言, Java語言, 離散數(shù)學(xué), 數(shù)據(jù)庫原理, 操作系統(tǒng), 程序設(shè)計(jì)方法，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，信息系統(tǒng), 匯編語言, 邏輯電路, 軟件工程, 最新軟件分析, 通信與信息理論, 算法分析, .….,高等代數(shù)—目的及要求,1. 為什么要學(xué)高等代數(shù)？,3. 作業(yè)要求： (1) 書面作業(yè)：A4大小的活頁紙； (2) 上網(wǎng)作業(yè)：可自

5、己檢查, 幫助理解； (3) 平時(shí)測驗(yàn):,4. 如何評(píng)定成績？,5.參考書目： 《線性代數(shù)及應(yīng)用》 –王曉峰主編 《高等代數(shù)》(北大) – 高教出版社,§ 1.1 集合,Ch. 1 基本概念,0.1,§ 1.2 映射,1.2,§ 1.3 數(shù)學(xué)歸納法,1.3,§ 1.4 數(shù)論初步,1.4,§ 1.5 整數(shù)和整環(huán),1.5,§1.1 集合,Ch.

6、 1 基本概念,集合的概念 集合的表示,元素的概念,常用記號(hào) 常用集合,有限集合 無限集合,子集 交集 并集 空集 補(bǔ)集 差集,笛卡爾集,集合的運(yùn)算,§1.2 映射,注意:如果f 是從A到B的一個(gè)映射,定義2 設(shè)f 是一個(gè)從A到B映射. 如果對(duì)任意的b?B, 都存在一個(gè)a ?A , 使得 f (a)= b則稱 f 是一個(gè)從A到B的滿射.,定義4

7、 既是滿射又是單射的映射稱為雙射.,定義3 設(shè)f 是一個(gè)從A到B映射. 對(duì)任意的a1, a2?A , 如果a1?a2, 就一定有 f (a1) ? f (a2) 則稱 f 是一個(gè)從A到B的單射.,映射的合成運(yùn)算:,,合成運(yùn)算滿足結(jié)合律:,合成函數(shù)的例子：,定理 1.2.1 設(shè)f 是一個(gè)從A到B映射. 那么以下條件等價(jià)： (i) f 是一個(gè)雙射； (ii) 存在B到

8、A映射g, 使得 g?f=jA , f?g=jB并且，當(dāng)(ii)成立時(shí)，映射 g 由 f 唯一確定.,,定義: 上述定理中由 f 唯一確定的映射g稱為f 的逆映射，記為 f ?1. 并且 f ?1?f=jA , f? f ?1=jB,代數(shù)運(yùn)算： 設(shè)A 是一個(gè)集合. 稱一個(gè)從A?A到A映射為A上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.,,§1.

9、3 數(shù)學(xué)歸納法,最小數(shù)原理 正整數(shù)集合N*的任意非空子集必有一個(gè)最小數(shù).,數(shù)學(xué)歸納法原理 設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題P(n). 如果 (i) P(1)為真(即:當(dāng)n=1時(shí)命題成立); (ii) 假設(shè)P(k)為真能推出P(k+1)也為真；那么對(duì)所有的正整數(shù)n，命題P(n)為真.,例 證明, 所有的整數(shù)n?3時(shí)滿足 2n+1<2n,,第二數(shù)學(xué)歸納法原理 設(shè)有一個(gè)與

10、正整數(shù)n有關(guān)的命題P(n). 如果 (i) P(1)為真; (ii) 假設(shè)對(duì)任意正整數(shù)h<k, P(h)為真能推 出P(k)也為真；那么對(duì)所有的正整數(shù)n，命題P(n)為真.,例 證明, 所有的大于1的正整數(shù)n均能分解 成素?cái)?shù)之積.,§1.4 數(shù)論初步,帶余除法: 設(shè)a, b是整數(shù)，b?0. 則a可唯一地表為 a=bq+r其中

11、q, r為整數(shù)并且0?r<|b|.,若干基本概念： 整除、素?cái)?shù)、合數(shù)、因數(shù)、公因數(shù) 、 倍數(shù)、公倍數(shù)、 互素,若干基本概念,整除、因數(shù)、倍數(shù): 設(shè)a, b是整數(shù). 如存在整 數(shù)q使a=bq, 則 稱b整除a, 記為 b|a; 并稱b 是a的因數(shù)，a是b的倍數(shù).,素?cái)?shù)、合數(shù): 大于1的正整數(shù)除1和自己外沒 有其它因數(shù)稱為素?cái)?shù)，否則稱為合數(shù).,公因數(shù)、公倍數(shù):,互素: 如果1是兩個(gè)整數(shù)a,

12、 b僅有的大于零的 公因數(shù)，則稱整數(shù)a與b互素.,最大公因數(shù) (greatest common divisor) gcd.,最小公倍數(shù) (least common mutiple) lcm.,性質(zhì)：設(shè)a, b均為整數(shù). 1) 如果a|b 并且 b|a, 則有a=?b; 2) 如果a|b, 則對(duì)任意的整數(shù)c, 有a|bc; 3) 如果a|b 并且 a|c, 則有a|(b+c); 4) 如果a|b 并且

13、b|c, 則有a|c.,記(a, b)為兩個(gè)不全為零的整數(shù)a和b的大于零的最大公因數(shù).,引理 如果 r 是一正整數(shù)，那么gcd(r, 0)=r.,定理 若a=bq+r，則 gcd(a, b)=gcd(b, r),Euclidean Algorithm,1. 設(shè)整數(shù) a 和 b 滿足： |a|>|b|?0.,2. 如果 b=0, 那么 gcd(a, b)=a. 如果b?0, 由帶余除法存

14、在 q 和 r 使得 a=bq+r |b|>r?0,定理 若d=(a, b)，則存在整數(shù)p, q使得 pa+qb=d,例 求(726, 393), 并求整數(shù)p和q使得 (726, 393)=726p+393q,定理的推論 整數(shù)a, b互素當(dāng)且僅當(dāng)存在整數(shù)p, q使得

15、 pa+qb=1,定理 若a|bc, 并且(a, b)=1，那么a|c.,§1.5 數(shù)環(huán)和數(shù)域,定義1 設(shè)S是一個(gè)全體復(fù)數(shù)集合C的一個(gè)非空子集. 如果對(duì)于任意的a, b?C, 都有 a+b, a?b, ab?C則稱C為一個(gè)數(shù)環(huán).,數(shù)環(huán)的例子：,定義2 設(shè)F是一個(gè)數(shù)環(huán). 如果 (i) F含有至少一個(gè)非零元； (ii) 對(duì)于F中任

16、意的非零元a, 均存在b?F, 使得ab =1.則稱F為一個(gè)數(shù)域.,數(shù)域的例子：,定理1.5.1 任何數(shù)域均包含了有理數(shù)域.,Exercises,PP.6-7: 3. 4. 6.(i),(iii);PP.14-15: 3. 7. 8. 10;PP.18: 1. 2;PP.23: 2. 4. 5.,Ch. 2多項(xiàng)式(Polynomial),§ 2.

17、1 一元多項(xiàng)式(unary polynomial),2.1,§ 2.2 帶余除法 · 整除 (Division with remainder),2.2,§ 2.3 最大公因式 (greatest common factor: gcd),2.3,§ 2.4 不可約(irreducible) 多項(xiàng)式? 唯一因式分解定理,§ 2.5 重因式,§ 2.6 多項(xiàng)式函數(shù),§ 2.

18、7 代數(shù)基本定理?復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解,§ 2.8 有理系數(shù)多項(xiàng)式,§ 2.9 多元多項(xiàng)式,§ 2.10 對(duì)稱多項(xiàng)式,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,2.4,2.10,補(bǔ)充一：三、四次方程的公式解,補(bǔ)充二：插值法,*,**,Ch. 3. 多項(xiàng)式 (Polynomials),§2.1 一元多項(xiàng)式(unary polynomials),2.1 一元多項(xiàng)式的概念及其運(yùn)算(opera

19、tion),定義1 設(shè)R是一個(gè)數(shù)環(huán)．R上一個(gè)文字x (x?R) 的一元多項(xiàng)式指的是形式表達(dá)式 an xn + an?1 x n?1+…+a1 x +a0 (1)其中n是任意非負(fù)整數(shù), 系數(shù)ai (i=0, 1, …, n)屬于R, x稱為不定元．,系數(shù)全為零的多項(xiàng)式稱為零多項(xiàng)式，記為0．,在多項(xiàng)式(1)中, aixi 稱為i次項(xiàng), ai稱為i次項(xiàng)的系數(shù), i=0, 1, …, n. 零次項(xiàng)a0x０簡記作a

20、０, 也稱為常數(shù)項(xiàng)．,用?(x)，g(x)，…，等來代表一元多項(xiàng)式．,定義2 數(shù)域P上的兩上一元多項(xiàng)式相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的同次項(xiàng)的系數(shù)相等．,設(shè)?(x)代表多項(xiàng)式(1)．如果an≠0, 那么anxn稱為多項(xiàng)式?(x)的首項(xiàng)(最高次項(xiàng))，an稱為首項(xiàng)系數(shù)，n稱為多項(xiàng)式?(x)的次數(shù)(degree)，記作?(?(x)).,零多項(xiàng)式0的次數(shù)定義為?∞ ．,記數(shù)環(huán)R上的所有一元多項(xiàng)式組成的集合作R[x]．,設(shè)?(x), g(x)?P[x] ，其

21、中(不妨設(shè)n≥m) ?(x)＝anxn+an?1 xn?1+…+a0= g(x)=bmxm+bm?1xm?1+…+b0= (i) ?(x)與g(x)的和是一個(gè)多項(xiàng)式 h(x)=其中h(x)的 i 次項(xiàng)的系數(shù)為 ci=ai+bi， i=0, 1, …, n 記作 h(x)=?(x)+g(x)．,(ii)

22、 ?(x)與g(x)的乘積是一個(gè)多項(xiàng)式 p(x)=其中p(x)的s次項(xiàng)的系數(shù)為 ds= , s=0, 1, …, n+m記作p(x)=?(x)g(x).,1º 加法交換律，即?+g=g+?;,運(yùn)算法則: ??(x)，g(x)?P[x]，有,2º 加法結(jié)合律，即(?+g)+h=?+(g+h);,3º

23、; 零多項(xiàng)式具有性質(zhì): 0+?=?+0=?;,4º 設(shè)?(x)=Σaixi，定義??(x)=Σ(?ai)xi，則 ?+(??) =(??)+?=0, 稱??是?的負(fù)元素；,5º 乘法交換律，即?g=g?；,6º 乘法結(jié)合律，即(?g)h=?(gh);,7º 零次多項(xiàng)式1具有性質(zhì)：1?=?1=?；,8º 乘法對(duì)于加法的分配律： ?(g+h

24、)=?g+f h 和 (g+h)?=gf+hf,定理2.1.1 設(shè)?(x)，g(x) ?R[x], 則 (i) ?(??g)≤max{?(f )，?(g)} (ii) 如果??0, g?0, 則?g≠０；并且有 ?(?g)= ?(?)+ ?(g),由定理2.1.1的證明，得：,多項(xiàng)式乘積的首項(xiàng)系數(shù)等于因子首項(xiàng)系數(shù)的乘積．,推論2.1.2 ?(x)g(x) =0 當(dāng)且僅當(dāng)?(

25、x)和g(x)中至少有一個(gè)是靈多項(xiàng)式．,推論2.1.3 (9º 乘法消去律) 如果?(x)g(x) =?(x)h(x), 且?(x)≠0, 則g(x)=h(x)．,定義 設(shè)R是一個(gè)數(shù)環(huán)，稱R上所有一元多項(xiàng)式的全體R[x]關(guān)于如上定義的多項(xiàng)式加法和乘法構(gòu)成的環(huán)為R上一元多項(xiàng)式環(huán).,§2.2 帶余除法 · 整除性質(zhì)初步 Division with remainder · divi

26、sibility,定理2.2.1(帶余除法) 對(duì)于F[x]中任意兩個(gè)多項(xiàng)式?(x)與g(x)，其中g(shù)(x)≠0，在F[x]中存在唯一的一對(duì)多項(xiàng)式h(x)，r(x)，使得 ?(x)=h(x)g(x)+r(x), ?(r(x))<?(g(x)) 式中的h(x)稱為g(x)除?(x)的商(quotient)，r(x)稱為g(x)除?(x)的余式(remainder).,以下總設(shè)F是一個(gè)數(shù)域.,定義5 設(shè)?(x), g(x)?

27、F[x]，使得 ?(x)=h(x)g(x)則稱g(x)整除(divide)?(x), 記作g(x)|?(x). 當(dāng)g(x)整除?(x)時(shí), g(x)稱為?(x)的因式(factor) (或因子), ?(x)稱為g(x)的倍式(multiplier).,定理1 設(shè)?(x), g(x)?F[x], 且g(x)≠0, 則g(x)|?(x)的充分必要條件是g(x)除?(x)的余式為零.,注意:

28、,2. 任意多項(xiàng)式整除零多項(xiàng)式；,3. 任意非零數(shù)整除任意多項(xiàng)式;,1. 如果零多項(xiàng)式0整除多項(xiàng)式?(x)，則?(x)=0；,4. 任意兩個(gè)多項(xiàng)式的整除關(guān)系不因?yàn)橄禂?shù)域的擴(kuò)大而改變.,整除性的基本性質(zhì):,2) 如果h(x)|f(x), 且h(x)|g(x), 則h(x)|(f(x)? g(x)).,4) 如果?(x)|gi(x), i=1, 2, …, r, 則對(duì)于任意 ui

29、(x) ?F[x], i=1, …, r, 有 ?(x)|(u1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+…+ur(x)gr(x)),1) 如果?(x)|g(x), 且g(x)|h(x), 則f (x)|h(x) (整 除的傳遞性).,3) 如果h(x)|f(x), 則對(duì)F[x]中的任意g(x)有 h(x)|f(x)g(x).,整除性的基本性質(zhì):,

30、6) 每一多項(xiàng)式?(x)能被cf(x)整除, c為F中任意 非零數(shù).,5) F中任意非零數(shù)c整除任意多項(xiàng)式.,7) 如果?(x)|g(x)，且g(x)|?(x)，則 ?(x)=cg(x)，其中c?F, c≠0.,注意: 多項(xiàng)式之間的整除性不會(huì)因?yàn)閿?shù)域的 選擇而 改變.,Exercises p.3 1.; 3.Exercises pp.37-3

31、8 1. (ii); 2.; 3.; 4.; 6; 7.,§2.3 最大公因式 (greatest common factor: gcd),定義1 設(shè)?(x)與g(x) 是F[x]中任意兩個(gè)多項(xiàng)式. F[x]中多項(xiàng)式d(x)同時(shí)整除?(x)和g(x), 則稱d(x)為?(x)和g(x)的一個(gè)公因式.,定義2 設(shè)d(x)是?(x)和g(x)的一個(gè)公因式. 如果d(x)還滿足如下述

32、性質(zhì): ?(x)和g(x)的任一公因式都整除d(x), 則稱d(x)是?(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式.,引理 在P[x]中，如果有等式?(x)=h(x)g(x)+r(x)成立，則?(x)與g(x)的最大公因式也是g(x)與r(x)的最大公因式，反之亦然.,定理2.3.1-2.3.2 對(duì)于P[x]中任意兩個(gè)多項(xiàng)式?(x)與g(x), 存在它們的一個(gè)最大公因式d(x), 并且d(x)可以表達(dá)成?(x)與g(x

33、)的一個(gè)組合, 即有P[x]中多項(xiàng)式u(x)與v(x), 使得d(x)=u(x)?(x)+v(x)g(x),定理2 的證明給出了求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式的方法，稱它為輾轉(zhuǎn)相除法(Euclidean Algorithm).,兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式在相伴的意義下是唯一確定的. 我們約定，用(?(x)，g(x))來表示首項(xiàng)系數(shù)是1的那個(gè)最大公因式.,注意: 兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式不會(huì)因?yàn)閿?shù) 域的選擇而改變.,例1

34、 設(shè)?(x)=x4 ?2x3?4x2 +4x?3, g(x)= 2x3 ?5x2 ?4x+3.求(?(x)，g(x))，并且把它表示成?(x)與g(x)的一個(gè)組合.,定義3 設(shè)?(x), g(x)是F[x]中的兩個(gè)多項(xiàng)式. 如果(?(x), g(x))=1, 則稱?(x)與g(x)互素(coprime).,定理2.3.3 F[x]中兩個(gè)多項(xiàng)式?(x)與g(x)互素的充分必要條件是存在F[x]中的多項(xiàng)式u(x), v(x),

35、使得u(x)?(x)+v(x)g(x)=1,性質(zhì)1 在F[x]中, 如果(?(x), h(x))=1并且 (g(x), h(x))=1, 則(?(x)g(x), h(x))=1.,性質(zhì)3 在F[x]中, 如果 f(x)|h(x)，g(x)|h(x)，且(f(x), g(x))=1 則?(x)g(x)|h(x).,性質(zhì)2 在F[x]中, 如果 ?(x)|g(x)h(x), 且(?(x), g(x

36、))=1則?(x)|h(x).,定義 在F[x]中, 如果多項(xiàng)式c(x)能整除多項(xiàng)式?1(x), ?2(x), …, ?n(x)的每一個(gè), 那么c(x)叫做這n個(gè)多項(xiàng)式的一個(gè)公因式. 設(shè) 1) d(x)是?1(x), ?2(x), …, ?n(x)的一個(gè)公因式; 2) ?1(x), ?2(x), …, ?n(x)的每一個(gè)公因式都 能整除d(x);則稱 d(x)為?1(x), ?2(x),

37、 …, ?n(x)的一個(gè)最大公因式.,記: (?1(x), ?2(x), …, ?n(x))為?1(x), ?2(x), …, ?n(x)的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式.,定義 P[x]中n(n≥2個(gè))個(gè)多項(xiàng)式?1(x), ?2(x), …, ?n(x), 如果 (?1(x), ?2(x), …, ?n(x))=1則稱?1(x), ?2(x), …, ?n(x)互素.,定理 在P[x]中，n個(gè)多項(xiàng)式?1(

38、x), ?2(x), …, ?n(x)互素的充分必要條件是有P[x]中多項(xiàng)式u1(x)，u2(x)，…，un(x)，使得 u1(x)?1(x)+ u2(x)?2(x)+…+ un(x)?n(x))=1,定義 在P[x]中, 稱m(x)為?(x)和g(x)的最小公倍式(least common multiplier, lcm), 如果 1) ?(x)?m(x)， g(x)?m(x)； 2) 如果有h(x)使得 ?(x

39、)?h(x) 和 g(x)?h(x), 則m(x)?h(x).,定理 1) 在相伴意義下兩多項(xiàng)式的lcm唯一. 2) 設(shè)?(x), g(x)均為為首一多項(xiàng)式，如記[?(x), g(x)]為首一的lcm, 則,習(xí)題課,例3 在F[x]中，如果 (?(x), h(x))=1, (g(x), h(x))=1則 (?(x)g(x)，h(x))=1.,例1 證明：

40、多項(xiàng)式xd?1整除xn?1的充分必要條件為d |n.,例2 設(shè) f1(x)=af(x)+bg(x), g1(x)=cf(x)+dg(x), 并且ad?bc?0. 證明： (f(x), g(x))= (f1(x), g1(x)),例4 證明 (?1(x), g1(x), f2(x), g2(x)) =((?1(x), g1(x))，(

41、 f2(x), g2(x))),Exercises pp.47-49 第一次： 1(i), 2, 3, 7, 10 第二次： 4，5，11，13,§4 不可約(irreducible) 多項(xiàng)式? 唯一因式分解定理,定義 F[x]中一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式p(x)如果在F[x]中的因式只有F中的非零數(shù)以及p(x)的相伴元，則稱p(x)是數(shù)域F上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式，否則叫做可約多項(xiàng)式.,一次多項(xiàng)式總是不可

42、約多項(xiàng)式.,一多項(xiàng)式可約當(dāng)且僅當(dāng)能分解成兩個(gè)次數(shù)更低的多項(xiàng)式之積.,注： 一多項(xiàng)式的可約與否與域F有關(guān).,性質(zhì)1 如果p(x)是數(shù)域F上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式, 0?c?F, 那么cp(x)也不可約.,性質(zhì)2 如果p(x)是數(shù)域F上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式, 那么對(duì)F[x]中任意多項(xiàng)式?(x), p(x)| ?(x)， 或者(p(x), f(x))=1.,性質(zhì)3 如果p(x)是數(shù)域F上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式, ?(x),

43、 g(x)?F[x], 并且 p(x)|?(x)g(x)，則有 p(x)| f(x), 或者p(x)| g(x).,推廣 如果p(x)是數(shù)域P上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式，那么對(duì)天P[x]中任意m個(gè)多項(xiàng)式?1(x), ?2(x), …, ?m(x)的積： p(x)| ?1(x)?2(x)…?m(x)，則必存在1?i?m, 使得p(x)|?i(x).,因式分解唯一定理 F[x]中每一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式?(x)都能唯一地分解成

44、數(shù)域F上有限個(gè)不可約多項(xiàng)式的乘積, 所謂唯一性是說, 如果?(x)有兩個(gè)這樣的分解式?(x)=p1(x)p2(x)…pr(x)=q1(x)q2(x)…qt(x)則一定有t=r, 并且適當(dāng)排列因式的次序后有 qi(x)＝cipi(x)， i=1，2，…, r,多項(xiàng)式?(x) 可分解成

45、 其中c是?(x)的首項(xiàng)系數(shù), p1(x)，p2(x)，…, pm(x)是不同的首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，r1，r2，…，rm是正數(shù). 這種分解式稱為?(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式.,定理 設(shè)如下是的標(biāo)準(zhǔn)分解式則,例1 設(shè)f(x)=23(x?1)3(x+1)2(x?2)2(x+5)(x?6)4與g(x)=12(x?1)2(x+1)4(x?2)(x+3)(x+5)2(x?5)4.求(f(x), g(x)) 和 [f(x), g(x)

46、].,例2 證明x2?2在有理數(shù)域上不可約.,例3 (p.59 第5題) 證明:數(shù)域F上一個(gè)次數(shù)大于零的多形式f(x)是F[x]中某一個(gè)不可約多形式的冪當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意g(x)?F[x], 或者(f(x), g(x))=1, 或者存在一個(gè)正整數(shù)m使得f(x)|g(x)m.,Exercises PP.55-56 1. (ii); 2.; 4. (i); 6.,§2.5 重因式,上述定義中，如果

47、 k=0, 則p(x)不是?(x) 的因式 ； k=1, 則,p(x) 是?(x) 單重因式.,[?(x)+g(x)]' = ?'(x)+ g'(x) [c?(χ)]' =c?'(x)， c?P[?(x)g(x)]' =?'(x)g(x)+?(x)g'(x) [?(m)(x)]' =

48、m?(m?1)(x)?'(x),定義 對(duì)于F[x]中的多項(xiàng)式?(x)=anxn+an?1xn?1+…+a1x+a0我們把P[x]中的多項(xiàng)式nanxn?1+(n?1)an?1xn?2+…+a1叫做?(x)的導(dǎo)數(shù)(或一階導(dǎo)數(shù)), 記作?'(x).,定理2.5.1 在F[x]中，如果不可約多項(xiàng)式p(x)是?(x)的一個(gè)k(k≥1)重因式，則p(x)是?(x)的導(dǎo)數(shù)?'(x)的一個(gè)k?1重因式.,特別地，多項(xiàng)

49、式?(x)的單因式不是?(x)導(dǎo)數(shù)?'(x)的因式.,推論1 如果不可約多項(xiàng)式p(x)是?(x)的 k(k≥1) 重因式, 則 p(x) 是 ?(x), ?'(x), …, ?(k?1)(x)的因式, 但不是?(k)(x) 因式.,推論2 不可約多項(xiàng)式p(x)是?(x)的重因式的充分必要條件為p(x)是?(x)與??(x)的公因式.,推論3(定理2.5.2) 多項(xiàng)式?(x)無重因式的充分必要條件為?(x)與

50、??(x)互素.,方法：判斷一個(gè)多項(xiàng)式?(x)有沒有重因式，只需計(jì)算(?(x)，?'(x)). 而求最大公因式有統(tǒng)一的方法:輾轉(zhuǎn)相除法.,設(shè)F[x]中的多項(xiàng)式?(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式是,因此用(?(x), ?'(x))除?'(x)所得商式是 cp1(x)p2(x)…pm(x)把它記作g(x), 我們便得到一個(gè)沒有重因式的多項(xiàng)式g(x), 它與?(x)含有完全相同的不可約因式.

51、,去掉?(x)的不可約因式重?cái)?shù)的方法:先用輾轉(zhuǎn)相除法求出(?(x)，?'(x)), 然后對(duì)?(x)與(?(x)，?'(x))做帶余除法, 所得商式g(x)即為所求的沒有重因式的多項(xiàng)式.,求?(x)的不可約因式重?cái)?shù)的方法:上述方法求得g(x)后, 用帶余除法可求g(x)的不可約因式(也就是f(x)的不可約因式)在f(x)中的重?cái)?shù).,習(xí)題課：,判斷下列多項(xiàng)式是否有重因式： 1) ?(x)＝x4? x3? 3x2+5x?2

52、; 2) g(x)＝xn+nxn?1+n(n?1)xn?2 +… +n(n?1)…3·2x+n!.,2. 證明：一不可約多項(xiàng)式p(x)是?(x)的 k(k≥1) 重因式當(dāng)且僅當(dāng) p(x) 是 ?(x), ?'(x), …, ?(k?1)(x)的因式, 但不是?(k)(x) 因式.,Exercises P.592; 3; 4(ii); 5.,§2.6 多項(xiàng)式函數(shù), 多

53、項(xiàng)式的根,定義 設(shè)R是一個(gè)數(shù)環(huán), 并設(shè) ?(x)=anxn+an?1xn?1+…+a1x+a0是R[x]中一個(gè)多項(xiàng)式. 取c?R，則記 ?(c)=ancn+an?1cn?1+…+a1c+ a0此時(shí), 我們稱?(x)為數(shù)環(huán)R上的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù), ?(c)為函數(shù)?(x)在c點(diǎn)的值. 特別的, 如果?(c)=0，則稱c是?(x)在R中的一個(gè)根(或零點(diǎn)).,定理2.6.1 (余數(shù)定理) 在

54、R[x]中，用一次多項(xiàng)式x?c去除多項(xiàng)式?(x), 所得的余式為R中的數(shù)?(c).,推論(Bezout定理) 設(shè)?(x)?R[x]，c?R是?(x)在R中的根的充分必要條件為x?c|?(x).,綜合除法,設(shè) ?(x)=anxn+an?1xn?1+…+a0，g(x)=x?c，求g(x)除?(x)的商與余式, 并計(jì)算 f(c)．,設(shè) ?(x)=q(x)g(x)+r(x)=q(x)(x?c)+r(x)則可設(shè)(r(x)=

55、r) q(x)=bn?1xn?1 +bn?2 xn?2+…+b0, r=?(c),并且 bn?1=an, bn?2=an?1+cbn?1, …, b1= a2+cb2, b0= a1+cb1, r=?(c)=a0+cb0,即 bn?1=an, bn?2=an?1+cbn?1, …, b1= a2+cb2, b0= a1+cb1, r=?(c)=a0+

56、cb0,從而可記： c | an an?1 an?2 … a2 a1 a0 + cbn?1 cbn?1 … cb2 cb1 cb0 an=bn?1 bn?2 bn?3 … b1 b0 r=?(c),,例1 設(shè)?(x)=2x5?6x3＋3x2?2x＋5，

57、g(x)=x?2，求g(x)除?(x)的商與余式, 并計(jì)算 f(2)．,例2 設(shè)?(x)=2x5?6x3＋3x2?2x＋5，h(x)=(x?2)(x+3)，求h(x)除?(x)的商與余式．,利用根與一次因式的關(guān)系, 對(duì)于R[x]中的多項(xiàng)式在R中的根, 我們可以定義重根的概念: a?R稱為?(x)?R[x]的一個(gè)k重根, 如果(x?a)是?(x)的k重因式. 當(dāng)k=1時(shí)，a稱為單根; 當(dāng)k>1時(shí)，a稱為(k)重根.,定理2.

58、6.3 R[x]中的n次(n≥0)多項(xiàng)式在R中至多有n個(gè)根(重根重?cái)?shù)計(jì)算).,定理2.6.4 設(shè)R[x]中兩個(gè)多項(xiàng)式?(x)與g(x)的次數(shù)都不超過n. 如果x分別用R中n+1個(gè)不同元素a1, a2, …, an+1代入, 有?(ai)=g(ai), i=1, 2, …, n+1, 則?(x)=g(x).,插值法,R[x]中兩個(gè)次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式?(x)與g(x), 如果它們在R的n+1個(gè)不同元素a1, …, an+1上有?(ai

59、)=g(ai)， i=1, …, n+1則這兩個(gè)多項(xiàng)式相等. 這說明: 數(shù)域R上一個(gè)次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，被它在R的n+1個(gè)不同元素上的值所唯一確定.,Lagrange插值公式 設(shè)c0, c1,…, cn 是數(shù)環(huán)R中n+1個(gè)不同的元素, d0, d1,…, dn 是數(shù)環(huán)R中n+1個(gè)元素, 則R[x]中存在唯一的次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式?(x), 使得 ?(ci)=di， i=0, 1,…, n其中,

60、Newton插值公式 設(shè)c0, c1,…, cn 是數(shù)環(huán)R中n+1個(gè)不同的元素, d0, d1,…, dn 是數(shù)域R中n+1個(gè)元素, 則R[x]中存在唯一的次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式?(x), 使得 ?(ci)=di， i=0, 1,…, n其中 公式中的諸ui通過把x逐次用c0, c1,…, cn 代入而求得.,例 求一個(gè)次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式?(x)使得： ?(0)=5, ?(1)=7

61、, ?(?1)=9, ?(?2)=13,例1 考查2是否為 f (x)=x5?6x4+11x3?2x2?12x+8的根. 如是，請(qǐng)問是幾重根？,例2 證明: Q[x]中的項(xiàng)式 沒有重因式（根）.,例3 證明: 一 n(?1)次多項(xiàng)式f(x)有n重根的充分必要條件是 f '(x) | f(x).,例7 求t的值使得 f (x)=x3?3x2+tx?1 有重根.,例8 設(shè)a是 f (3)

62、(x)的一個(gè)n重根. 證明a是的一個(gè)k+3重根.,例9 證明: 如果(x2+x+1)| [f(x3)+xg(x3)], 那么(x?1)|f(x), (x?1)|g(x).,例10 證明: 如果(x?1)|f(xn), 那么(xn?1)|f(xn).,Exercises PP.65-661.; 2.; 3.; 4.(ii); 5. 7. 9.,§7 復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解,一、

63、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,定理2.7.2 每一個(gè)n(n>0)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上有n個(gè)根(重根重?cái)?shù)計(jì)算).,代數(shù)基本定理 每個(gè)次數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)根.,復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式唯一因式分解定理 每個(gè)次數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積.,從而: 復(fù)數(shù)域上每個(gè)次數(shù)大于2的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式均可約.,二、根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè) ?(x)=xn+a1xn?1+…+an,,

64、在復(fù)數(shù)域上唯一地分解成一次因式的乘積: ?(x)=(x??1)(x??2) … (x??n),設(shè) ?(x)=xn+a1xn?1+…+an =(x??1)(x??2) … (x??n),,比較得： a1＝?(?1+ ?2+…+ ?n); a2＝?1?2+

65、?1?3 …+ ?n?1?n; a3＝?(?1?2 ?3+?1?2?4 …+?n?2?n?1?n); …… an?1=(?1)n?1(?1?2…?n?1+ ?1?3…?n+ …+ ?2…?n?1?n) an=(?1)n?1?2…?n,例 求有單根5與?2以及二重根3的四次多項(xiàng)式.,,即求 ?(x)= (x?5)(

66、x＋2)(x?3)(x?3)或者 ?(x)=a(x?5)(x＋2)(x?3)(x?3),從而： a1＝?(5?2+3+3)=?9; a2＝5·(?2)+5·3+ 5·3+(?2)·3+(?2)·3+3·3=17; a3＝?(5·(?2)·3+ 5·(?2)·3+ 5·3·3+(?2)·3

67、·3)=33; a4＝5·(?2)·3·3=?90;,故： ?(x)=x4?9x3+17x2+33x?90，或者 ?(x)=a(x4?9x3+17x2+33x?90).,三、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的虛根共軛成對(duì)出現(xiàn).,定理2.7.4 實(shí)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式都是一次或二次的; 實(shí)系數(shù)二次多項(xiàng)式?(x)=ax2+bx+c不可約當(dāng)且僅當(dāng)它的判別式 b2?4ac<

68、0.,實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式唯一因式分解定理 每個(gè)次數(shù)大于零的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與判別式小于零的二次因式的乘積.,例1 求多項(xiàng)式?(x)=xn?1在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的因式分解.,Exercises PP.70-711.; 3.; 4.,§8 有理系數(shù)多項(xiàng)式,要明確四點(diǎn)：,2. 有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根可全部求得；,3. 一有理系數(shù)多項(xiàng)式無有理根并不保證此 多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約；并且對(duì)某些有

69、理系數(shù)多項(xiàng)式的不可約性可判定；,4. 在有理數(shù)域上存在任意次的不可約多項(xiàng)式.,1. 有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的因式分解等價(jià)于一個(gè)整系數(shù)(本原)多項(xiàng)式的因式分解；,定義 一個(gè)非零的整系數(shù)多項(xiàng)式g(x)=bnxn+…+b1x+b0如果它的各項(xiàng)系數(shù)bn，bn-1，…，b1，b0的最大公因數(shù)為±1，則稱g(x)為本原多項(xiàng)式.,兩個(gè)相伴的本原多項(xiàng)式僅相差一個(gè)符號(hào).,高斯(Gauss)引理 兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是本原多項(xiàng)式.,

70、定理2.8.2 如果一個(gè)次數(shù)大于零的整系數(shù)多項(xiàng)式在Q上可約, 則它一定能分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.,推論 設(shè)f(x), g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式, 并且g(x)是本原多項(xiàng)式. 如果f(x)=g(x)h(x), 其中h(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式, 則h(x)一定是整系數(shù)多項(xiàng)式.,由此推論得到如下的尋求任意整系數(shù)(從而任意有理系數(shù)多項(xiàng)式) 的全部有理根的必要條件:,定理2.8.4 設(shè) ?