高等代數(shù)課后思考題

1、高等代數(shù)課后思考題第八章第八章歐氏空間歐氏空間思考題思考題1、設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的n維向量空間，試問(wèn)：對(duì)V是否總可以定義內(nèi)積，使V對(duì)此內(nèi)積構(gòu)成歐氏空間？2、如果向量空間V是一歐氏空間，那么它的任一子空間也是歐氏空間嗎？為什么？3、用表示n維歐氏空間V中向量的內(nèi)積，下面的等式中哪些成立？??（1）12121122????????????（2）aa???（3）1???（4）abab?????(5)2.???????4、已知向量空間R3關(guān)于內(nèi)積

2、112233xyxyxy?????是歐式空間，也對(duì)內(nèi)積11223323xyxyxy?????是歐氏空間，其中.123123()()xxxyyy????問(wèn)：向量組對(duì)此兩種內(nèi)積來(lái)說(shuō)是1231111(010)(0)(0)2222???????否能分別構(gòu)成正交向量組？5、設(shè)是n維歐氏空間V的一個(gè)基，問(wèn)如何規(guī)定V的內(nèi)積，使V對(duì)此??12n????內(nèi)積是歐氏空間，且是它的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基？??12n????6、設(shè)W是歐氏空間V的有限維子空間，則W的正

3、交補(bǔ)W⊥存在。問(wèn)：（1）W的正交補(bǔ)W⊥唯一嗎？（2）給出兩種求W⊥的方法。7、在n維歐氏空間中，是否存在n1個(gè)兩兩正交的非零向量？為什么？8、歐氏空間V的一個(gè)正交變換是否保持任意兩個(gè)向量的夾角？9、歐氏空間V的保持任意兩個(gè)向量夾角不變的線性變換是否是正交變換？10、歐氏空間V的保持任意向量長(zhǎng)度不變的線性變換是否是正交變換？11、歐氏空間V的保持任意兩個(gè)向量長(zhǎng)度距離不變的線性變換是否是正交變換？12、歐氏空間V的保持任意兩個(gè)向量?jī)?nèi)積不變的