高等代數(shù)簡介doc

1、高等代數(shù)簡介高等代數(shù)簡介一、高等代數(shù)的教學(xué)目的及重要性代數(shù)學(xué)是以代數(shù)結(jié)構(gòu)作為研究對象的一門學(xué)科。所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)就是指帶有一個或多個代數(shù)運(yùn)算并且滿足一定運(yùn)算規(guī)則的非空集合。高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分是高等學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)院的學(xué)生的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，它既是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高，也是數(shù)學(xué)各分支的基礎(chǔ)和工具。高等代數(shù)這門課程概念多理論性強(qiáng)內(nèi)容抽象充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯性、高度抽象性、廣泛應(yīng)用性等特征。通過該課程的學(xué)習(xí)可逐漸培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力

2、、邏輯推理能力和空間想象能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步特別是計算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展與普及代數(shù)學(xué)在信息科學(xué)、計算機(jī)科學(xué)和物理學(xué)等許多領(lǐng)域都有著非常廣泛的應(yīng)用。高等代數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)院各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課學(xué)習(xí)的好壞直接關(guān)系到多門后續(xù)課程的學(xué)習(xí)同時又關(guān)系到學(xué)生以后從事科學(xué)與技術(shù)研究的基本功。二、高等代數(shù)簡要發(fā)展史代數(shù)學(xué)是一門古老的數(shù)學(xué)學(xué)科，最簡單的代數(shù)運(yùn)算—正整數(shù)和有理數(shù)的算術(shù)運(yùn)算及這些運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)在古代就知道了，1718世紀(jì)“代數(shù)學(xué)

3、”被理解為在代數(shù)符合上進(jìn)行運(yùn)算的科學(xué)，即對由字母組成的公式的“恒等”變換、解代數(shù)方程等，到18世紀(jì)中葉，代數(shù)學(xué)或多或少地相當(dāng)于現(xiàn)在的“初等代數(shù)”。18世紀(jì)和19世紀(jì)的代數(shù)學(xué)處理的主要內(nèi)容是多項(xiàng)式。歷史上，首要的問題是求解一個未知數(shù)的代數(shù)方程即求解下述類型的方程1010nnnaxaxa??????其目的是推導(dǎo)出由方程的系數(shù)經(jīng)加、減、乘、除及開方所構(gòu)成的公式來表示方程的根。事實(shí)上，人們很早就已經(jīng)知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。16世

4、紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了解三次方程和四次方程的求解公式。這就很自然地促使數(shù)學(xué)家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的求解公式。遺憾的是這個問題雖然耗費(fèi)了許多數(shù)學(xué)家大量的時間和精力，但一直持續(xù)了長達(dá)三個多世紀(jì)都沒有解決。同時，這個時期對于任意復(fù)系數(shù)代數(shù)方程的復(fù)根的存在性就成為數(shù)學(xué)家的主要興趣，在18世紀(jì)和19世紀(jì)交替的時候，德國數(shù)學(xué)家高斯證明了代數(shù)方程有解存在的基本定理即代數(shù)基本定理。到了19世紀(jì)初挪威青年數(shù)學(xué)家阿貝爾證明了五次或五次以上的

5、方程一般不能用根式求解即這些方程的根不能用方程的系數(shù)通過加、減、乘、除、乘方、開方這些代數(shù)運(yùn)算表示出來。19世紀(jì)初30年代，法國一位青年數(shù)學(xué)家伽羅華對代數(shù)方程使用根式求解的可能性給出了一個一般性的判別法，使高次代數(shù)方程求解問題得到徹底解決。到19世紀(jì)中葉和后半世紀(jì)，伽羅華的研究成果的的矩陣表示在方法上主要是利用線性變換與矩陣的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)換。高等代數(shù)的另一部分是多項(xiàng)式代數(shù)，多項(xiàng)式代數(shù)是以探討代數(shù)方程的根的存在性作為中心問題的。多項(xiàng)式

6、代數(shù)所研究的內(nèi)容包括整除性理論、最大公因式、重因式等。研究多項(xiàng)式代數(shù)主要在于探討代數(shù)方程的性質(zhì)。我們知道關(guān)于二次、三次和四次方程有公式解，而對于五次或五次以上的高次方程不存在公式解。事實(shí)上，不能給出高次方程的公式解，并不影響多項(xiàng)式代數(shù)的研究和發(fā)展。即使對于三次和四次方程來說，這種公式雖然存在，但是非常麻煩而且?guī)缀跏菦]有什么實(shí)際用途的。另一方面，在解決物理和工程問題時，所得出的這些方程的系數(shù)，常常是從測量的結(jié)果得出來的數(shù)值，只是一些近似值

7、，所以我們只需要在已知準(zhǔn)確度內(nèi)給出根的近似值。因此，多項(xiàng)式的中心問題不是具體的來求出方程的根，而是關(guān)于根的存在性。我們知道實(shí)系數(shù)二次方程不一定有實(shí)根存在。但把數(shù)擴(kuò)大到全部復(fù)數(shù)，我們就能得到任何實(shí)系數(shù)二次方程的根。那么，是否有這樣的高次方程存在，它并沒有一個復(fù)數(shù)根，或者為了求出它的根，必須把復(fù)數(shù)擴(kuò)大到更大的一類數(shù)？代數(shù)基本定理回答了這個問題。這個定理給出了每一個方程，不管它的系數(shù)是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)，都有復(fù)根存在，而且根的個數(shù)和方程的次數(shù)相等。

8、上面我們簡略的描繪了高等代數(shù)的主要內(nèi)容。事實(shí)上高等代數(shù)只是內(nèi)容豐富，分支很多的代數(shù)學(xué)的開端。高等代數(shù)范圍以外的代數(shù)分支很多，比如群、環(huán)、域、格等，而且應(yīng)用非常廣泛，代數(shù)學(xué)的概念、思想和方法廣泛應(yīng)用于數(shù)論、泛函分析、微分方程理論、幾何學(xué)、張量代數(shù)及其它數(shù)學(xué)學(xué)科中。除了在數(shù)學(xué)學(xué)科中的基本作用外，代數(shù)學(xué)在物理學(xué)、控制論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等都有重要應(yīng)用。無可否認(rèn)，代數(shù)學(xué)的輝煌發(fā)展，達(dá)到今天的成就，決不是偶然的現(xiàn)象，它是數(shù)學(xué)總的發(fā)展的一部分，一方面，代