角平分線2

1、,1.4角平分線(1),,1.角平分線的性質(zhì)定理和判定定理。2.用尺規(guī)作角的平分線。,本節(jié)課我們學(xué)習(xí)什么？,還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?你是怎樣得到的? 與小組同學(xué)交流。,角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。,角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．求證：PD=PE．證明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90

2、°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？,定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.,∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).,圖形語(yǔ)言,你能寫(xiě)出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?,性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.,如果有一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)

3、點(diǎn)必在這個(gè)角的平分線上．這是一個(gè)真命題嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是請(qǐng)舉出反例。不是真命題，是假命題。在角的外部，也存在到角兩邊距離相等的點(diǎn)，但是這個(gè)點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上．,用心想一想，馬到成功,角平分線性質(zhì)定理的逆命題：在一個(gè)角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線上。,它是真命題嗎?,如果是.請(qǐng)你證明它。,已知：在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足且PD=PE，求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線

4、上．,證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°　　　在Rt△ODP和Rt△OEP中　　　OP=OP，PD=PE　　　∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．　　　∴∠1=∠2(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)．,判定定理： 在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.,∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知), 且PD=PE, ∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.(在一

5、個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).,圖形語(yǔ)言,A,1.如圖,AD,AE分別是△ABC中∠A的內(nèi)角平分線外角平分線,它們有什么位置關(guān)系?,老師期望:你能說(shuō)出結(jié)論并能證明它.,練一練，我最棒！,2.已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.,老師期望:做完題目后,一定要“悟”到點(diǎn)東西,納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.,你能用什么辦法平分一個(gè)已

6、知角呢？,1．可以用量角器．2．使用三角尺，也可以平分一個(gè)已知角．3．用角尺也可以平分一個(gè)已知角．4．用直尺和圓規(guī)平分一個(gè)已知角．5. 用折紙的辦法也可以平分一個(gè)已知角．,發(fā)散思維，想一想,已知:∠AOB,如圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.,用尺規(guī)作角的平分線.,作法:1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.,2.分別以點(diǎn)D和E為圓心,以大于DE/2長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在 ∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.,3.作射線O

7、C.則射線OC就是∠AOB的平分線.,,,,1.利用尺規(guī)作出三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線。,你發(fā)現(xiàn)了什么？,學(xué)以致用，練一練,2. 如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離相等.,學(xué)以致用，練一練,溫馨提示：本題綜合運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)哦！,,3.如圖,一目標(biāo)在A區(qū),到期公路,鐵路距離相等,離公路與鐵路的交叉處500m.在圖上標(biāo)出它的位置(比例尺 1:20 000)。,學(xué)以致用，練一練,1.角