周期離散系統(tǒng)的混沌.pdf

1、混沌科學(xué)是一門(mén)交叉學(xué)科，它作為非線(xiàn)性科學(xué)研究的中心內(nèi)容之一，已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、生理學(xué)、心理學(xué)、電子學(xué)、信息科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等各個(gè)學(xué)科，并且在力學(xué)工程、化學(xué)工程、生物工程、醫(yī)學(xué)工程、電子工程、信息工程等各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用. 混沌的研究已經(jīng)有很長(zhǎng)的歷史.1903年，法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家H.Poincaré在研究三體問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了混沌，成為世界上最先了解混沌存在可能性的第一位學(xué)者.1954年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A.N.Ko

2、lmogorov在探索概率起源過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了Hamilton函數(shù)中微小變化時(shí)條件周期的保持.1963年，他的學(xué)生V.I.Arnold對(duì)此做了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，差不多同時(shí)，瑞士數(shù)學(xué)家J.Morser對(duì)此給出了一個(gè)改進(jìn)的證明.以這三位數(shù)學(xué)家名字的首位字母命名的KAM定理是一個(gè)多世紀(jì)以來(lái)人們用微擾方法處理不可積系統(tǒng)所取得的最成功的結(jié)果，具有極為重要的理論價(jià)值.1963年，美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz在研究大氣時(shí)發(fā)現(xiàn)了確定性的非周期流：一個(gè)確定系統(tǒng)在某

3、些條件可出現(xiàn)非周期的無(wú)規(guī)則行為，即軌道對(duì)初始條件的敏感依賴(lài)性，也就是有趣的“蝴蝶效應(yīng)”.而這也被認(rèn)為是混沌的本質(zhì).Lorenz發(fā)表的論文《確定性非周期流》以及后來(lái)陸續(xù)發(fā)表的三篇文章成為混沌研究的重大突破.1975年，美籍華裔數(shù)學(xué)家李天巖和美國(guó)數(shù)學(xué)家J. Yorke在研究一維連續(xù)映射導(dǎo)出的離散動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)，得到了一個(gè)著名的結(jié)果：“周期3蘊(yùn)含混沌”，并且首次將混沌的概念引入科學(xué)界.此后“混沌”作為一個(gè)新的科學(xué)名詞正式出現(xiàn)在科學(xué)文獻(xiàn)中.隨著對(duì)不

4、同問(wèn)題研究的需要，出現(xiàn)了幾個(gè)不同的混沌定義.目前，常用的混沌定義有三種：Li-Yorke意義下混沌，Devaney意義下混沌和Wiggins意義下混沌。 對(duì)于自治離散系統(tǒng)混沌判定的研究，目前已經(jīng)有很多豐富的結(jié)果.對(duì)由連續(xù)區(qū)間映射導(dǎo)出的一維離散系統(tǒng)，有著名的“周期3蘊(yùn)含混沌”；非2次冪周期、紊亂和正的拓?fù)潇靥N(yùn)含Devaney和Li-Yorke意義下混沌.對(duì)于高維離散系統(tǒng)，有F.R.Marotto在Rn空間上建立的返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)定理

5、，史玉明和陳關(guān)榮對(duì)Marotto結(jié)果的改進(jìn)和條件的減弱，以及林偉和陳關(guān)榮建立的異宿擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)定理。對(duì)于無(wú)窮維離散系統(tǒng)而言，有史玉明，陳關(guān)榮和郁培等在一般的Banach空間和完備度量空間上建立的返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)理論和耦合擴(kuò)張理論]，以及李宗成，史玉明，張超在完備度量空間上建立的連接擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)異宿環(huán)定理。 在現(xiàn)實(shí)世界中，很多數(shù)學(xué)模型是時(shí)變系統(tǒng)，但為了研究方便，往往將其用自治系統(tǒng)代替，時(shí)變離散系統(tǒng)與自治離散系統(tǒng)本質(zhì)的不同在于它是有一族映

6、射導(dǎo)出，它的動(dòng)力學(xué)行為比自治系統(tǒng)的要復(fù)雜得多，例如，有限維線(xiàn)性自治離散系統(tǒng)不可能是混沌的，但有限維線(xiàn)性時(shí)變離散系統(tǒng)可能在Li-Yorke意義下混沌.因而，對(duì)時(shí)變離散系統(tǒng)混沌的研究難度也更大，目前，有關(guān)時(shí)變離散系統(tǒng)混沌的研究很少.據(jù)我們所知，與此問(wèn)題研究相關(guān)的只有文獻(xiàn)，其中文獻(xiàn)研究了度量空間中有相同定義域的映射族在迭代和逐次兩種方式導(dǎo)出的系統(tǒng)的混沌情況，得出迭代方式導(dǎo)出的系統(tǒng)混沌不能蘊(yùn)含逐次方式導(dǎo)出的系統(tǒng)混沌，反之亦然；文獻(xiàn)將自治離散系統(tǒng)

7、混沌的概念推廣到時(shí)變離散系統(tǒng)，給出了有限維線(xiàn)性時(shí)變離散系統(tǒng)在Li-Yorke意義下混沌的判定定理和一般時(shí)變離散系統(tǒng)在強(qiáng)Li-Yorke意義下混沌的判定定理，據(jù)我們所知，對(duì)于周期離散系統(tǒng)--一類(lèi)特殊的時(shí)變離散系統(tǒng)，目前有關(guān)它的混沌研究結(jié)果很少.文獻(xiàn)舉例說(shuō)明了兩個(gè)混沌映射的復(fù)合不一定是混沌的。事實(shí)上，這兩個(gè)混沌映射導(dǎo)出的是一個(gè)2-周期離散系統(tǒng).本文在文獻(xiàn)工作的基礎(chǔ)上，研究周期離散系統(tǒng)的混沌判定及其微擾問(wèn)題. 本文分為兩章，第一章給出

8、了一些基本結(jié)論，為第二章建立周期離散系統(tǒng)的混沌判定和研究微擾問(wèn)題做一些必要的準(zhǔn)備工作，主要內(nèi)容如下： 第一章主要討論周期離散系統(tǒng)與其誘導(dǎo)出的自治離散系統(tǒng)混沌動(dòng)力學(xué)行為之間的關(guān)系，得到了自治離散系統(tǒng)是Devaney（Wiggins）和（強(qiáng)）Li-Yorke意義下混沌分別蘊(yùn)含原周期離散系統(tǒng)是Devaney（Wiggins）和（強(qiáng)）Li-Yorke意義下混沌；在某些條件下，周期離散系統(tǒng)是Devaney（Wiggins）和（強(qiáng)）Li-Y

9、orke意義下混沌蘊(yùn)含其誘導(dǎo)的自治離散系統(tǒng)是Devaney（Wiggins）和（強(qiáng)）Li-Yorke意義下混沌，最后，我們證明了有限維線(xiàn)性周期離散系統(tǒng)不可能在Li-Yorke意義下混沌. 第二章主要考慮周期離散系統(tǒng)的混沌判定及其微擾問(wèn)題.在自治離散系統(tǒng)耦合擴(kuò)張理論的基礎(chǔ)上，利用文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果和第一章的結(jié)論得到了具有耦合擴(kuò)張性的周期離散系統(tǒng)在Li-Yorke意義下混沌，和在Devaney和強(qiáng)Li-Yorke意義下混沌的兩個(gè)判定定理