生成離散系統(tǒng)的零極點模型。

1、第5章 MATLAB在自動控制原理的應用,5.1 控制系統(tǒng)模型5.2 控制系統(tǒng)的時域分析 5.3 控制系統(tǒng)的根軌跡 5.4 控制系統(tǒng)的頻域分析5.5 系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析函數5.6 極點配置和觀測器設置5.7 最優(yōu)控制系統(tǒng)設計,5.1 控制系統(tǒng)模型,,5.1.1 控制系統(tǒng)的描述與LTI對象1．控制系統(tǒng)的模型及轉換 線性控制系統(tǒng)是一般線性系統(tǒng)的子系統(tǒng)。在MATLAB中，對自動控制系

2、統(tǒng)的描述采用三種模型：狀態(tài)空間模型(ss)、傳遞函數模型(tf)以及零極點增益模型(zpk)。模型轉換函數：ss2tf，ss2zp，tf2ss，tf2zp，zp2ss和zp2tf。,2．LTI對象 為了對系統(tǒng)的調用和計算帶來方便。根據軟件工程中面向對象的思想，MATLAB通過建立專用的數據結構類型，把線性時不變系統(tǒng)(LTI)的各種模型封裝成為統(tǒng)一的LTI對象。 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中規(guī)定的LTI對象

3、包含了三種子對象：ss對象、tf對象和zpk對象。每個對象都具有其屬性和方法，通過對象方法可以存取或者設置對象的屬性值。,在MATLAB的Control System Toolbox(控制系統(tǒng)工具箱)中提供了許多仿真函數與模塊，用于對控制系統(tǒng)的仿真和分析。,屬性說明：(1)當系統(tǒng)為離散系統(tǒng)時，給出了系統(tǒng)的采樣周期Ts。Ts＝0或缺省時表示系統(tǒng)為連續(xù)時間系統(tǒng)；Ts=-1表示系統(tǒng)是離散系統(tǒng)，但它的采樣周期未定。 (2) 輸入

4、時延Td僅對連續(xù)時間系統(tǒng)有效，其值為由每個輸入通道的輸入時延組成的時延數組，缺省表示無輸入時延。 (3)輸入變量名InputName和輸出變量名OutputName允許用戶定義系統(tǒng)輸入輸出的名稱，其值為一字符串單元數組，分別與輸入輸出有相同的維數，可缺省。 (4)Notes和用戶數據Userdata用以存儲模型的其它信息，常用于給出描述模型的文本信息，也可以包含用戶需要的任意其它數據，可缺省。,5.1.2

5、　LTI模型的建立及轉換函數,在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中，各種LTI對象模型的生成和模型間的轉換都可以通過一個相應函數來實現。,,表5.3 生成LTI模型的函數,[例5-4] 生成離散系統(tǒng)的零極點模型。MATLAB源程序為：z={[] ,-0.5};p={0.3,[0.1+2i,0.2-2i]};k=[2,3];s6=zpk(z,p,k,-1)運行結果為：,Zero/pole/gain from input 1 to

6、 output: ←從第1輸入端口至輸出的零極點增益 2-------(z-0.3) Zero/pole/gain from input 2 to output: ←從第2輸入端口至輸出的零極點增益 3 (z+0.5)-------------------------(z-(0.1+2i)) (z-(0.2-2i)) Sampling time: unspecified表明該系統(tǒng)為雙輸入單輸出的

7、離散系統(tǒng)。,5.1.3 LTI對象屬性的設置與轉換,1．LTI對象屬性的獲取與設置,表5.4 對象屬性的獲取和修改函數,2．LTI模型的轉換函數,表5.5 模型檢測函數,5.1.4 典型系統(tǒng)的生成,1．隨機生成N階穩(wěn)定的連續(xù)狀態(tài)空間模型函數rss( )格式：sys = rss(N,P,M)功能：隨機生成N階穩(wěn)定的連續(xù)狀態(tài)空間模型，該系統(tǒng)具有M個輸入，P個輸出。缺省是P=M=1，即sys=rss(N)。,2. 隨機生成N階穩(wěn)定的

8、連續(xù)線性模型系數函數rmodel( )格式：[num,den]=rmodel(N,P) 功能：生成一個N階連續(xù)的傳遞函數模型系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有P個輸出。,3．離散時間N階穩(wěn)定隨機系統(tǒng)生成函數drss( )和drmodel( )drss和drmodel函數的用法與rss和rmodel函數的用法相仿，不同點僅僅在于它生成的是離散系統(tǒng)。,4．二階系統(tǒng)生成函數ord2格式：[A,B,C,D] = ord2(Wn, Z) 功能：生成固有頻

9、率為Wn，阻尼系數為Z的連續(xù)二階的狀態(tài)空間模型系統(tǒng)。,5．系統(tǒng)時間延遲的Pade近似函數pade( )格式：sysx = pade(sys,N)功能：對連續(xù)系統(tǒng)sys產生N階Pade近似的延時后，生成新的系統(tǒng)sysx。,5.1.5 LTI模型的簡單組合與復雜模型組合,1．LTI模型的簡單組合(1)若假定兩環(huán)節(jié)均為單輸入單輸出的系統(tǒng)SA和SB。·兩個環(huán)節(jié)級聯：sys＝series(SA，SB)·兩個環(huán)節(jié)并

10、聯：sys=parallel(SA，SB)·A環(huán)節(jié)前向，B環(huán)節(jié)反饋：S=feedback(SA,SB)(2)當在多輸入多輸出系統(tǒng)中，必須增加輸入變量和輸出變量的編號：·級聯：sys=series(SA，SB，outputA, inputB)·并聯：sys=parallel(SA,SB,InputA,InputB,OutputA,OutputB)·反饋： sys=feedback(SA,

11、SB,feedout,feedin,sign),[例5-14] 計算圖5.1所示的系統(tǒng)的傳遞函數。MATLAB源程序為：s1=tf([2,5,1],[1,2,3]) %系統(tǒng)s1的傳遞函數模型s2=zpk(-2,-10,5)　　　 %系統(tǒng)s2的零極點增益模型sys=feedback(s1,s2)　　% s1環(huán)節(jié)前向，s2環(huán)節(jié)反饋5(s+2)/(s+10)程序運行結果為：Transfer function: ←

12、系統(tǒng)s1的傳遞函數模型2 s^2 + 5 s + 1------------------ s^2 + 2 s + 3Zero/pole/gain: ←系統(tǒng)s2的零極點增益模型5 (s+2)-----------(s+10)Zero/pole/gain: ←系統(tǒng)s1、s2的反饋零極點增益模型0.18182 (s+10) (s+2.281) (s+0.2192)-------------------

13、---------------------- (s+3.419) (s^2 + 1.763s + 1.064),,2．LTI模型的復雜模型組合,對復雜系統(tǒng)的任意組合，在MATLAB中，則采用集成的軟件包，讓機器自動去完成復雜的組合，人們只要輸入各環(huán)節(jié)的LTI模型和相應的聯接矩陣與輸入矩陣，指定輸出變量，軟件包會自動判別輸入的模型表述方式，作出相應的運算并最后給出組合后系統(tǒng)的狀態(tài)方程。在求解過程中，主要涉及append( )函數和con

14、nect( )函數。,通常，由以下五個步驟來完成： ①對方框圖中的各個環(huán)節(jié)進行編號，建立它們的對象模型。②利用append函數命令建立無連接的狀態(tài)空間模型。 sap=append(s1,s2,…,sm)③按規(guī)定寫出系統(tǒng)的互聯接矩陣q互聯矩陣q中的每一行由組合系統(tǒng)的一個輸入編號和構成該輸入的其它輸出編號組成，其中該行的第一個元素為該輸入的編號，接下來的元素則由構成該輸入的其它子框的輸出編號組成，如果為負反饋，則編號應取負號。

15、④選擇組合系統(tǒng)中需保留的對外的輸入和輸出端的編號并列出。 Inputs=[i1,i2, …] outputs=[j1, j2,…]⑤用connect命令生成組合后的系統(tǒng)。,5.1.6 連續(xù)系統(tǒng)與采樣系統(tǒng)之間的轉換,若連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,,則對應的采樣系統(tǒng)狀態(tài)方程為：,其中,，Ts為采樣周期。,、,、,、,反之，采樣系統(tǒng)到連續(xù)系統(tǒng)的轉換關系為上式的逆過程：,、,、,、,1. 轉換原理,,,,,,2. 連續(xù)系統(tǒng)與采樣系統(tǒng)之

16、間的轉換函數,[例5-17] 系統(tǒng)的傳遞函數為：輸入延時Td=0.35秒，試用一階保持法對連續(xù)系統(tǒng)進行離散，采樣周期Ts=0.1s。MATLAB程序為：sys=tf([2,5,1],[1,2,3],'td',0.5); %生成連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數模型sysd=c2d(sys,0.1,'foh')　　　　　%形成采樣系統(tǒng)程序運行結果為：　　Transfer function:

17、 2.036 z^2 - 3.628 z + 1.584z^(-5) * ------------------------------------- z^2 - 1.792 z + 0.8187 Sampling time: 0.1,5.2 控制系統(tǒng)的時域分析,時域分析是一種直接在時間域中對系統(tǒng)進行分析的方法，具有直觀和準確的優(yōu)點。它是根據控制系統(tǒng)輸入與輸出之間的時域表達式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)

18、過程和穩(wěn)態(tài)誤差?？刂葡到y(tǒng)最常用的分析方法有兩種：一是當輸入信號為單位階躍時，求出系統(tǒng)的響應；二是當輸入信號為單位沖激函數時，求出系統(tǒng)的響應。,1. 生成特定的激勵信號的函數gensig( )格式：[u,t] = gensig(type,tau)功能：按指定的類型type和周期tau生成特定類型的激勵信號u。其中變元type可取字符為：‘sin’(正弦)、‘square’(方波)、‘pulse’(脈沖)。,2．LTI模型的單位沖激響應

19、函數impulse( )格式：impulse(sys)功能：繪制系統(tǒng)sys（sys由函數tf、zpk或ss產生）的單位沖激響應，結果不返回數據，只返回圖形。,[例5-19] 系統(tǒng)傳遞函數為：求脈沖響應。MATLAB程序如下：sys=tf(4,[1 1 4]); %生成傳遞函數模型impulse(sys); %計算并繪制系統(tǒng)的單位沖激響應title('脈沖響應');該程序運行所得結果

20、如圖5.5所示。,,圖5.5系統(tǒng)的脈沖響應,3. 狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的零輸入響應函數initial( ) 格式：initial(sys,x0) 功能：繪制狀態(tài)空間模型sys在初始條件x0下的零輸入響應，不返回數據，只繪出 響應曲線。該響應由如下方程表征：,連續(xù)時間：,,,,離散時間：,,,,、,、,、,、,4．LTI模型任意輸入的響應函數lsim( )格式：lsim(sys,u,T) 功

21、能：計算和繪制LTI模型sys在任意輸入u、持續(xù)時間T的作用下的輸出y，不返回數據，只返回圖形。T為時間數組，它的步長必須與采樣周期Ts相同。當u為矩陣時，它的列作為輸入，且與T(i)行的時間向量相對應。例如t = 0:0.01:5; u = sin(t); lsim(sys,u,t)完成系統(tǒng)sys對輸入u(t)=sin(t)在5秒內的響應仿真。,5．LTI模型的階躍響應函數step( )格式：step(sys)功能：繪制系統(tǒng)sys

22、(sys由函數tf、zpk或ss產生)的階躍響應，結果不返回數據，只返回圖形。對多輸入多輸出模型，將自動求每一輸入的階躍響應。,[例5-21] 求系統(tǒng)：的方波響應，其中方波周期為6秒，持續(xù)時間12秒，采樣周期為0.1秒。MATLAB程序為：[u,t]=gensig('square',6,12,0.1); %生成方波信號plot(t,u,'--');hold on;

23、 %繪制激勵信號sys=tf([1,1],[1,2,5]); %生成傳遞函數模型lsim(sys,u,t,'k'); %系統(tǒng)對方波激勵信號的響應該程序運行所得結果如圖5.7所示。,,圖5.7　方波響應曲線,5.3 控制系統(tǒng)的根軌跡,在控制系統(tǒng)分析中，為了避開直接求解高階多項式的根時遇到的困難，在實踐中提出了一種圖解

24、求根法，即根軌跡法。所謂根軌跡是指當系統(tǒng)的某一個(或幾個)參數從－∞到＋∞時，閉環(huán)特征方程的根在復平面上描繪的一些曲線。應用這些曲線，可以根據某個參數確定相應的特征根。在根軌跡法中，一般取系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數K作為可變參數，利用它來反映出開環(huán)系統(tǒng)零極點與閉環(huán)系統(tǒng)極點(特征根)之間的關系。 根軌跡可以分析系統(tǒng)參數和結構已定的系統(tǒng)的時域響應特性，以及參數變化對時域響應特性的影響，而且還可以根據對時域響應特性的要求確定可變參數及調整開環(huán)系

25、統(tǒng)零極點的位置，并改變它們的個數，也就是說根軌跡法可用于解決線性系統(tǒng)的分析與綜合問題。 MATLAB提供了專門繪制根軌跡的函數命令，如下表所示，使繪制根軌跡變得輕松自如。,表 系統(tǒng)根軌跡繪制及零極點分析函數,[例5-25] 由連續(xù)系統(tǒng)：試繪制其零極點圖和根軌跡圖。MATLAB程序為：num=[2,5,1]; den=[1,2,3];sys=tf(num,den); %生成傳遞函數模型figure(1); pz

26、map(sys);title(‘零極點圖’); %繪制零極點圖figure(2); rlocus(sys); sgrid; title(‘根軌跡’); %繪制根軌跡圖,圖5.12 傳遞函數的零極點圖和根軌跡圖,5.4 控制系統(tǒng)的頻域分析,頻域分析法是應用頻率特性研究控制系統(tǒng)的一種經典方法。采用這種方法可直觀地表達出系統(tǒng)的頻率特性，分析方法比較簡單，物理概念比較明確，對于諸如防止結構諧振，抑制噪聲、改善系

27、統(tǒng)穩(wěn)定性和暫態(tài)性能等問題，都可以從系統(tǒng)的頻率特性上明確的看出其物理實質和解決途徑。 頻率分析法主要包括三種方法： Bode圖(幅頻/相頻特性曲線) Nyquist曲線 Nichols圖。,,,,,[例5-29] 試繪制開環(huán)系統(tǒng)H(s)的Nyquist曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出閉環(huán)系統(tǒng)的單位沖激響應。其中MATLAB程序為：k=50;z=[];p=[-5,2];

28、sys=zpk(z,p,k);figure(1);nyquist(sys);title('Nyquist曲線圖');figure(2);sb=feedback(sys,1);impulse(sb);title('單位沖激響應');,圖5.18 開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線圖及沖激響應,,,5.5 系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析函數,在自動控制系統(tǒng)分析中，狀態(tài)空間分析是一種較復雜的分析方法。這是因為它用矩陣

29、進行運算和求解；其二，它的非唯一性，即對同一個系統(tǒng)，通過相似變換，可以有無數種A，B，C，D組合來描述。,5.5.1 系統(tǒng)可觀性與可控性判別函數1．可控性矩陣函數ctrb格式：Co=ctrb(sys)　或　Co=ctrb(A,B)功能：求得系統(tǒng)的可控性矩陣Co，若矩陣Co的秩等于系統(tǒng)的階次，即rank(Co)＝n，則系統(tǒng)可控。2．可觀控矩陣函數obsv( )格式：Ob=obsv(sys)　或　Ob=obsv(A,C)功能

30、：求得系統(tǒng)的可觀控矩陣Ob，若矩陣Ob的秩rank(Ob)=n，則系統(tǒng)可觀。3．Gramian矩陣函數gram( )格式：Wc=gram(sys,‘c’)功能：求可控Gramian矩陣Wc，它的滿秩(rank(Wc)=n)與系統(tǒng)的可控等價。,5.5.2　系統(tǒng)相似變換函數,1．通用相似變換函數ss2ss( )格式：syst=ss2ss(sys,T)功能：通過非奇異變換矩陣T，把狀態(tài)變量由x變成z=Tx，變換后的狀態(tài)空間模型sys

31、t為：z’=[TAT-1]z+[TB]u y=[CT-1]z+Du,,,,2．變?yōu)橐?guī)范形式的函數canon( )格式：csys=canon(sys,type)功能：用來把系統(tǒng)sys變?yōu)橐?guī)范形csys。type用來選擇規(guī)范的類型，有兩種可選規(guī)范形式：‘modal’(約當矩陣形式)和‘companion’(伴隨矩陣形式)。3．系統(tǒng)分解為可控和不可控兩部分的函數ctrbf( )格式：[Abar, Bbar, Cbar, T

32、, k]=ctrbf(A, B, C)功能：把系統(tǒng)分解為可控和不可控兩部分。4．系統(tǒng)分解為可觀和不可觀兩部分的函數obsvf( )格式：[Abar, Bbar，Cbar，T，k]=obsvf(A，B，C)功能：把系統(tǒng)分解為可觀和不可觀兩部分。,,,,,,,,,,[例5-33] 設系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：將其作可控性結構分解。MATLAB源程序如下：A=[-2,2,-1;0,-2,0;1,4,3];B=[0;0;1];C=[1

33、,-1,1];D=0; %系數矩陣賦值s1=ss(A,B,C,D); %生成LTI模型[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=ctrbf(A,B,C) %可控性結構分解rA=rank(A)　　　　%求狀態(tài)方程系數矩陣的秩rc=sum(k)　　　　　%求判斷可控矩陣的秩,5.6 極點配置和觀測器設置,給定控制系統(tǒng)，通過設計反饋增益k使閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的極點，從而達到適當的阻尼系數和無阻尼自然頻率，這

34、就是極點配置問題。但極點配置是基于狀態(tài)反饋，即u=-kx ,因此狀態(tài)x必須可測，當狀態(tài)不可測時，則應設計狀態(tài)觀測器。設計的狀態(tài)觀測器也應具有適當的頻率特性，因此也可指定其極點的位置，從而使狀態(tài)觀測器的設計轉化為極點配置問題。,,,表5.7 極點配置和狀態(tài)估計器,5.7 最優(yōu)控制系統(tǒng)設計,對于線性時不變（LTI）系統(tǒng)：,,線性二次型(LQ)最優(yōu)控制器的任務是設計u(t) ，使線性二次型最優(yōu)控制指標(代價函數)：,,,最小。由于線性二次型的

35、性能指標易于分析、計算、處理，可得到要求的代數結果，相角裕量的優(yōu)點，因而在控制系統(tǒng)的各個領域內都得到了廣泛地重視和應用。 然而，線性二次型調節(jié)器(LQR)控制的閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)響應與加權系數矩陣Q和R之間存在著非常復雜的對應關系，這就給加權矩陣的選擇帶來許多困難，目前普遍采用的仿真試湊法無疑限制了LQR設計方法在工程上的推廣應用。采用試湊法獲得的最優(yōu)控制是“人工”意義下的最優(yōu)，而不是真正意義上的最優(yōu)。實際上在這種情況下無