三角形輔助線的添加方法和經(jīng)典習(xí)題和答案

1、龍文教育教育一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1：已知如圖11：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn)求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.證明：（法一）證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞C

2、E；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC（法二：）（法二：）如圖12，延長(zhǎng)BD交AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB＋AF＞BD＋DG＋GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）由（1）＋（2）＋（3

3、）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖21：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC。分析分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同一個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)

4、添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC證法二：連接AD，并延長(zhǎng)交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三

5、角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖31：已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2∠3＝∠4求證：BE＋CF＞EF。分析：要證BE＋CF＞EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個(gè)

6、三角形中。證明：證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，ABCDENM11?圖ABCDEFG21?圖ABCDEFG12?圖ABCDEFN13?圖12343∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE＝CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB＋AC＞2AD。（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等

7、腰直角三角形，如圖52，求證EF＝2AD。六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖61：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任一點(diǎn)。求證：AB－AC＞PB－PC。分析：要證：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再連接PN，則PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC

8、＞PB－PC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN＝AC連接PN在△APN和△APC中∵??????????)()(21)(公共邊已知輔助線的作法APAPACAN∴△APN≌△APC（SAS）∴PC＝PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BP－PC＜AB－AC證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至M，使AM＝AB，連接PM，在△ABP和△AMP中∵??????????)()(21)(公共邊已知輔助線

9、的作法APAPAMAB∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB＝PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴AB－AC＞PB－PC。七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖71：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求證：AD＝BC分析：欲證AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全