韋達(dá)定理初中奧數(shù)

1、學(xué)科：奧數(shù)學(xué)科：奧數(shù)年級：初三年級：初三不分版本不分版本期數(shù)：期數(shù)：346346本周教學(xué)內(nèi)容：韋達(dá)定理及其應(yīng)用本周教學(xué)內(nèi)容：韋達(dá)定理及其應(yīng)用【內(nèi)容綜述內(nèi)容綜述】設(shè)一元二次方程有二實數(shù)根，則，。這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a，b，c的關(guān)系，稱之為韋達(dá)定理。其逆命題也成立。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)競賽中有著廣泛的應(yīng)用。本講重點介紹它在五個方面的應(yīng)用。【要點講解要點講解】1求代數(shù)式的值應(yīng)

2、用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值?！铩锢?若a，b為實數(shù)，且，，求的值。思路注意a，b為方程的二實根；（隱含）。解（1）當(dāng)a=b時，；（2）當(dāng)時，由已知及根的定義可知，a，b分別是方程的兩根，由韋達(dá)定理得，ab=1.說明此題易漏解a=b的情況。根的對稱多項式，，等都可以用方程的系數(shù)表達(dá)出來。一般地，設(shè)，為方程的二根，，則有遞推關(guān)系。其中n為自然數(shù)。由此關(guān)系可解一批競賽題。附加：本題還有一種最基本方法即分別解出

3、a，b值進(jìn)而求出所求多項式值，但計算量較大。根據(jù)韋達(dá)定理（或逆定理）及判別式，可以證明某些恒等式或不等式?！铩铩锢?已知a，b，c為實數(shù)，且滿足條件：，，求證a=b。證明由已知得，。根據(jù)韋達(dá)定理的逆定理知，以a，b為根的關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程為①由a，b為實數(shù)知此方程有實根。?！?，故c=0，從而。這表明①有兩個相等實根，即有a=b。0c2?說明由“不等導(dǎo)出相等”是一種獨特的解題技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法

4、較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。4研究方程根的情況將韋達(dá)定理和判別式定理相結(jié)合，可以研究二次方程根的符號、區(qū)間分布、整數(shù)性等。關(guān)于方程的實根符號判定有下述定理：⑴方程有二正根，ab0；⑵方程有二負(fù)根，ab0，ac0；⑶方程有異號二根，ac0；⑷方程兩根均為“0”，b=c=0，；★★★例5設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件，試求實數(shù)a的范圍。⑴二根均大于1；⑵一根大于1，另一根小于1。思路設(shè)方程二根分別為，，則二根均大于1等價于和同時