韋達(dá)定理及其應(yīng)用競賽題

1、韋達(dá)定理及其應(yīng)用韋達(dá)定理及其應(yīng)用66韋達(dá)定理及其應(yīng)用韋達(dá)定理及其應(yīng)用【內(nèi)容綜述內(nèi)容綜述】設(shè)一元二次方程有二實(shí)數(shù)根，則，。這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a，b，c的關(guān)系，稱之為韋達(dá)定理。其逆命題也成立。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)競賽中有著廣泛的應(yīng)用。本講重點(diǎn)介紹它在五個方面的應(yīng)用。【要點(diǎn)講解要點(diǎn)講解】1求代數(shù)式的值應(yīng)用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值?！铩锢?若

2、a，b為實(shí)數(shù)，且，，求的值。思路注意a，b為方程的二實(shí)根；（隱含）。解（1）當(dāng)a=b時，；（2）當(dāng)時，由已知及根的定義可知，a，b分別是方程的兩根，由韋達(dá)定理得，ab=1.說明此題易漏解a=b的情況。根的對稱多項(xiàng)式，，等都可以用方程的系數(shù)表達(dá)出來。一般地，設(shè)，為方程的二根，，則有遞推關(guān)系。其中n為自然數(shù)。由此關(guān)系可解一批競賽題。附加：本題還有一種最基本方法即分別解出a，b值進(jìn)而求出所求多項(xiàng)式值，但計(jì)算量較大?！铩铩锢?若，且，試求代數(shù)式

3、的值。思路此例可用上例中說明部分的遞推式來求解，也可以借助于代數(shù)變形來完成。解：因?yàn)?，由根的定義知m，n為方程的二不等實(shí)根，再由韋達(dá)定理，得，韋達(dá)定理及其應(yīng)用韋達(dá)定理及其應(yīng)用68由a，b為實(shí)數(shù)知此方程有實(shí)根。?！啵蔯=0，從而。這表明①有兩個相等實(shí)根，即有a=b。0c2?說明由“不等導(dǎo)出相等”是一種獨(dú)特的解題技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。4研究方程根的情況將韋達(dá)定理和判別式

4、定理相結(jié)合，可以研究二次方程根的符號、區(qū)間分布、整數(shù)性等。關(guān)于方程的實(shí)根符號判定有下述定理：⑴方程有二正根，ab0；⑵方程有二負(fù)根，ab0，ac0；⑶方程有異號二根，ac0；⑷方程兩根均為“0”，b=c=0，；★★★例5設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件，試求實(shí)數(shù)a的范圍。⑴二根均大于1；⑵一根大于1，另一根小于1。思路設(shè)方程二根分別為，，則二根均大于1等價于和同時為正；一根大于1，另一根小于是等價于和異號。解設(shè)此方程的二根為，，則，。