帶跳隨機(jī)局部波動(dòng)率模型的校準(zhǔn)：一種Tikhonov正則化方法.pdf

1、在數(shù)學(xué)上，波動(dòng)率模型的校準(zhǔn)問(wèn)題是一個(gè)確定模型參數(shù)的反問(wèn)題，通過(guò)校準(zhǔn)使得由模型計(jì)算出的衍生產(chǎn)品價(jià)格與該產(chǎn)品的市場(chǎng)價(jià)格一致。由于Black-Scholes模型中的常數(shù)波動(dòng)率假設(shè)不能夠反應(yīng)市場(chǎng)中所觀察到的波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率的期限結(jié)構(gòu)，在過(guò)去的幾十年中，研究者一直嘗試用更豐富的波動(dòng)率模型來(lái)校準(zhǔn)市場(chǎng)，其中包括隨機(jī)局部波動(dòng)率模型和帶跳的模型。在隨機(jī)局部波動(dòng)率模型下，標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率表示為一個(gè)局部波動(dòng)率函數(shù)和一個(gè)隨機(jī)過(guò)程之積，也就是將局部波動(dòng)率模型和

2、隨機(jī)波動(dòng)率模型相結(jié)合，旨在包含兩者優(yōu)勢(shì)的同時(shí)消除各自的不足。對(duì)于隨機(jī)局部波動(dòng)率模型，學(xué)者們提出了相關(guān)的校準(zhǔn)方法。通常分為兩步，首先校準(zhǔn)純隨機(jī)過(guò)程部分，之前的方法主要將該部分參數(shù)化，通過(guò)求解非線性最小二乘問(wèn)題使得模型中的常數(shù)參數(shù)最優(yōu)；然后是校準(zhǔn)該模型中的局部波動(dòng)率函數(shù)，利用Derman和Kani的結(jié)果，該局部波動(dòng)率函數(shù)可以表示成一個(gè)與條件期望相關(guān)的表達(dá)式，然后通過(guò)Monte Carlo或者偏微分方程來(lái)求解，但是該具體形式依賴于首先校準(zhǔn)局部

3、波動(dòng)率模型。對(duì)于帶跳模型中跳參數(shù)的確定，一般是通過(guò)非線性最小二乘方法來(lái)校準(zhǔn)，或者運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法從標(biāo)的資產(chǎn)的歷史數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)。由于Tikhonov正則化的最優(yōu)控制方法在校準(zhǔn)局部波動(dòng)率模型上取得比較好的效果，促使我們考慮將其運(yùn)用到一般形式的波動(dòng)率模型校準(zhǔn)問(wèn)題上來(lái)。
　　本文通過(guò)Tikhonov正則化方法來(lái)校準(zhǔn)一般形式的帶跳隨機(jī)局部波動(dòng)率模型。一般形式是指我們不預(yù)先假定波動(dòng)率模型中局部波動(dòng)率函數(shù)以及隨機(jī)部分的漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)所滿足的特定函數(shù)形

4、式。在之前，D ai等研究了一般形式的隨機(jī)波動(dòng)率模型的校準(zhǔn)，一般形式的帶跳隨機(jī)局部波動(dòng)率模型還沒(méi)有被研究過(guò)，我們用最優(yōu)控制的方法校準(zhǔn)這三個(gè)函數(shù)項(xiàng)，同時(shí)由于回避了Derman和Kani中關(guān)于局部波動(dòng)率函數(shù)顯示表達(dá)式這一結(jié)果，使得我們?cè)谛?zhǔn)該模型下局部波動(dòng)率函數(shù)時(shí)回避了預(yù)先校準(zhǔn)局部波動(dòng)率模型。首先，我們給出一般帶跳隨機(jī)局部波動(dòng)率模型下，期權(quán)價(jià)格作為敲定價(jià)格和到期日的函數(shù)所滿足的偏微分方程，稱之為修正的Dupire方程，基于此，我們可以將波動(dòng)

5、率模型的校準(zhǔn)問(wèn)題表示成標(biāo)準(zhǔn)的偏微分方程反問(wèn)題；然后通過(guò)Tikhonov正則化的最優(yōu)控制方法，我們構(gòu)建每一項(xiàng)的優(yōu)化問(wèn)題，每一個(gè)時(shí)間步的最優(yōu)解所滿足的必要條件可以用一個(gè)變分問(wèn)題來(lái)表示，通過(guò)簡(jiǎn)化必要條件，可以得到關(guān)于時(shí)間連續(xù)的極限情形；對(duì)于極限情形下的必要條件，我們提出了梯度下降的求解算法，由于我們的校準(zhǔn)方法是同時(shí)校準(zhǔn)出模型中需要確定的三項(xiàng)，我們用一個(gè)整體的迭代算法來(lái)求解。為了論證方法的有效性，我們做了大量的模擬數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)和市場(chǎng)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)。用模擬