期權(quán)定價的數(shù)值方法

1、第八章第八章期權(quán)定價的數(shù)值方法期權(quán)定價的數(shù)值方法小結(jié)小結(jié)1.當不存在解析解時，可以用不同的數(shù)值方法為期權(quán)定價，其中主要包括二叉樹圖方法、蒙特卡羅模擬和有限差分方法。2.二叉樹圖方法用離散的隨機游走模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運動在風險中性世界中可能遵循的路徑，每個小的時間間隔中的上升下降概率和幅度均滿足風險中性原理。從二叉樹圖的末端開始倒推可以計算出期權(quán)價格。3.蒙特卡羅方法的實質(zhì)是模擬標的資產(chǎn)價格在風險中性世界中的隨機運動，預(yù)測期權(quán)的平均回

2、報，并由此得到期權(quán)價格的一個概率解。4.有限差分方法將標的變量滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化成差分方程來求解，具體的方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法、“跳格子方法”和CrankNicolson方法等。5.樹圖方法和有限差分方法在概念上是相當類似的，它們都可以看成用離散化過程解出偏微分方程的數(shù)值方法，都適用于具有提前執(zhí)行特征的期權(quán)，不太適合路徑依賴型的期權(quán)。其中二叉樹模型由于其簡單直觀和容易實現(xiàn)，是金融界中應(yīng)用得最廣泛的數(shù)值定價方法之一；有限

3、差分方法則日益受到人們的重視。6.蒙特卡羅方法的優(yōu)點在于應(yīng)用起來相當直接，能處理許多盈虧狀態(tài)很復(fù)雜的情況，尤其是路徑依賴期權(quán)和標的變量超過三個的期權(quán)，但是不擅長于處理美式期權(quán)，而且往往所需計算時間較長。習題1.如何理解二叉樹數(shù)值定價方法？2.一個無紅利股票的美式看跌期權(quán)，有效期為3個月，目前股票價格和執(zhí)行價格均為50美元，無風險利率為每年10％，波動率為每年30％，請按時間間隔為一個月來構(gòu)造二叉樹模型，為期權(quán)定價。并應(yīng)用控制方差技術(shù)對這

4、一估計進行修正。3.如何構(gòu)造有紅利情況下的二叉樹圖？4.一個兩個月期基于某股票指數(shù)的美式看漲期權(quán)，執(zhí)行價格為500，目前指數(shù)為495，無風險利率為年率10％，指數(shù)紅利率為每年4％，波動率為每年25％。構(gòu)造一個四步（每步為半個月）的二叉樹圖，為期權(quán)定價。5.如何理解蒙特卡羅模擬方法？其主要優(yōu)缺點是什么？6.假設(shè)無紅利股票價格運動服從對數(shù)正態(tài)分布，股票當前價格為100美元，執(zhí)行價格為105美元，波動率為20％，無風險利率為5％，一年后到期。

5、時間步長選擇為0.01，運用Excel軟件計算出股票價格的一條模擬路徑。7.假設(shè)用蒙特卡羅模擬方法為一個波動率是隨機的無紅利歐式看漲期權(quán)定價？這時如何用控制方差法和對偶變量技術(shù)提高蒙特卡羅方法的效率？8.有限差分方法的主要特點是什么？9.一個無紅利股票的美式看漲期權(quán)還有四個月到期，執(zhí)行價為21美元，股票現(xiàn)價為20美元，無風險利率為10％，波動率為30％。運用顯性有限差分法為該期權(quán)定價。股票價格區(qū)間為4美元，時間區(qū)間為1個月。10.有紅利

6、的情況下，如何應(yīng)用有限差分法？第八章第八章期權(quán)定價的數(shù)值方法期權(quán)定價的數(shù)值方法小結(jié)小結(jié)1.當不存在解析解時，可以用不同的數(shù)值方法為期權(quán)定價，其中主要包括二叉樹圖方法、蒙特卡羅模擬和有限差分方法。2.二叉樹圖方法用離散的隨機游走模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運動在風險中性世界中可能遵循的路徑，每個小的時間間隔中的上升下降概率和幅度均滿足風險中性原理。從二叉樹圖的末端開始倒推可以計算出期權(quán)價格。3.蒙特卡羅方法的實質(zhì)是模擬標的資產(chǎn)價格在風險中性世界

7、中的隨機運動，預(yù)測期權(quán)的平均回報，并由此得到期權(quán)價格的一個概率解。4.有限差分方法將標的變量滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化成差分方程來求解，具體的方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法、“跳格子方法”和CrankNicolson方法等。5.樹圖方法和有限差分方法在概念上是相當類似的，它們都可以看成用離散化過程解出偏微分方程的數(shù)值方法，都適用于具有提前執(zhí)行特征的期權(quán)，不太適合路徑依賴型的期權(quán)。其中二叉樹模型由于其簡單直觀和容易實現(xiàn)，是金融界中應(yīng)用得

8、最廣泛的數(shù)值定價方法之一；有限差分方法則日益受到人們的重視。6.蒙特卡羅方法的優(yōu)點在于應(yīng)用起來相當直接，能處理許多盈虧狀態(tài)很復(fù)雜的情況，尤其是路徑依賴期權(quán)和標的變量超過三個的期權(quán)，但是不擅長于處理美式期權(quán)，而且往往所需計算時間較長。習題1.如何理解二叉樹數(shù)值定價方法？2.一個無紅利股票的美式看跌期權(quán)，有效期為3個月，目前股票價格和執(zhí)行價格均為50美元，無風險利率為每年10％，波動率為每年30％，請按時間間隔為一個月來構(gòu)造二叉樹模型，為期

9、權(quán)定價。并應(yīng)用控制方差技術(shù)對這一估計進行修正。3.如何構(gòu)造有紅利情況下的二叉樹圖？4.一個兩個月期基于某股票指數(shù)的美式看漲期權(quán)，執(zhí)行價格為500，目前指數(shù)為495，無風險利率為年率10％，指數(shù)紅利率為每年4％，波動率為每年25％。構(gòu)造一個四步（每步為半個月）的二叉樹圖，為期權(quán)定價。5.如何理解蒙特卡羅模擬方法？其主要優(yōu)缺點是什么？6.假設(shè)無紅利股票價格運動服從對數(shù)正態(tài)分布，股票當前價格為100美元，執(zhí)行價格為105美元，波動率為20％，

10、無風險利率為5％，一年后到期。時間步長選擇為0.01，運用Excel軟件計算出股票價格的一條模擬路徑。7.假設(shè)用蒙特卡羅模擬方法為一個波動率是隨機的無紅利歐式看漲期權(quán)定價？這時如何用控制方差法和對偶變量技術(shù)提高蒙特卡羅方法的效率？8.有限差分方法的主要特點是什么？9.一個無紅利股票的美式看漲期權(quán)還有四個月到期，執(zhí)行價為21美元，股票現(xiàn)價為20美元，無風險利率為10％，波動率為30％。運用顯性有限差分法為該期權(quán)定價。股票價格區(qū)間為4美元，