歐式期權(quán)定價(jià)的monte―carlo方法

1、<p>　　歐式期權(quán)定價(jià)的Monte―Carlo方法</p><p>　　摘 要：討論各種歐式期權(quán)價(jià)格的Monte-Carlo方法。根據(jù)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型以及風(fēng)險(xiǎn)中性理論，首先詳細(xì)地討論如何利用Monte-Carlo方法來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)價(jià)格；然后討論如何引入控制變量以及對稱變量來提高M(jìn)onte-Carlo方法的精確性；最后用Monte-Carlo方法來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)、歐式―兩值期

2、權(quán)、歐式―回望期權(quán)以及歐式―亞式期權(quán)的價(jià)格，并討論相關(guān)方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 </p><p>　　關(guān)鍵詞：Black-Scholes方程；歐式期權(quán)定價(jià)；Monte-Carlo方法 </p><p>　　中圖分類號(hào)：F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2015）15-0104-06 </p><p><b>　　引言 </b>&

3、lt;/p><p>　　期權(quán)在金融工程中廣泛用于構(gòu)造各種新型金融產(chǎn)品，是最活躍的衍生工具之一[2，3，5]。期權(quán)作為一種衍生金融衍生產(chǎn)品，它依附于某種標(biāo)的資產(chǎn)而存在，因而它的定價(jià)決定于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化。由于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變化是不確定的以及隨機(jī)的。由此產(chǎn)生的期權(quán)的價(jià)格變化也定是隨機(jī)的。但是一旦標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)確定下來，那么期權(quán)作為它的衍生產(chǎn)品的價(jià)格亦將隨之確定。這就是說，若在t時(shí)刻原生資產(chǎn)的價(jià)格為S，期權(quán)價(jià)格為V，則存在函

4、數(shù)V（S，t）使得V=V（S，t）。通常在期權(quán)的到期日那天，期權(quán)的價(jià)值（或稱為期權(quán)的收益、或稱為期權(quán)的價(jià)格）V（S（T），T）是確定的。但是期權(quán)生效日t=0那天的價(jià)值（或稱為期權(quán)價(jià)格）是未知的。期權(quán)生效日t=0那天的價(jià)值也稱為期權(quán)金，它是期權(quán)購買者為了取得這個(gè)期權(quán)未定權(quán)益所需要付出的代價(jià)。 通常，計(jì)算目的就是要求出期權(quán)生效日t=0那天的價(jià)格，也即V（S（0），0）的值。 </p><p>　　歐式期權(quán)定價(jià)的方法主

5、要有三種：偏微分方程數(shù)值解法（如有限差分法、有限元法、有限容量法等）[1，8]，二叉樹法[2，4，7]以及Monte-Carlo方法[9]。三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。Monte-Carlo方法最主要的優(yōu)點(diǎn)是具有一般性，可以應(yīng)用于各種金融衍生產(chǎn)品包括期權(quán)的定價(jià)中。在期權(quán)定價(jià)中，有基于二叉樹法的Monte-Carlo模擬，也有基于隨機(jī)過程的Monte-Carlo模擬[8，9]。本文僅考慮后者。在國內(nèi)，利用Monte-Carlo方法來為歐式期

6、權(quán)定價(jià)的研究工作主要是體現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)、歐式―亞式期權(quán)以及標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)的計(jì)算上[1-10]，但是較少有作者系統(tǒng)討論如何提高M(jìn)onte-Carlo方法的精確性以及討論它的優(yōu)缺點(diǎn)。本文系統(tǒng)討論各式歐式期權(quán)定價(jià)的Monte-Carlo方法的實(shí)現(xiàn)過程以及如何改進(jìn)它們。 </p><p>　　一、標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的定價(jià) </p><p>　　在Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)條件下，可得到計(jì)

7、算標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的價(jià)格公式（1）～（7）。雖然有計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲（或看跌）期權(quán)的價(jià)格公式，但還是希望探討標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)定價(jià)的Monte-Carlo方法。這是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)是一種最簡單的期權(quán)，許多復(fù)雜的期權(quán)都是由它派生出來，一旦掌握了標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)定價(jià)的Monte-Carlo方法，就可以把該方法應(yīng)用到更為復(fù)雜的期權(quán)價(jià)格的計(jì)算中去。下面先討論標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)定價(jià)的Monte-Carlo方法。 </p><p>　　設(shè)S（

8、t）表示在時(shí)刻時(shí)標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格（0≤t≤T），它是隨機(jī)變化的。根據(jù)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型[1，8，9，10]，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從下列隨機(jī)過程： </p><p>　　dS=μS（t）dt+σS（t）dW（t） （1） </p><p>　　其中參數(shù)μ是代表標(biāo)的資產(chǎn)的平均收益率，σ是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的波動(dòng)率，W（t）是服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)變量，dS表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格

9、的變化量，dt表示時(shí)間的變化量，dW（t）表示W(wǎng)（t）的變化量。如果假定μ等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，則模型式（1）變?yōu)閇1，4，7，9]： </p><p>　　dS=rS（t）dt+σS（t）dW（t） （2） </p><p>　　再根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性理論就可得[1，9，10]： </p><p>　　V（S，t）=e-r（T-t） </p><p>

10、　　E[f（ S（T））] （3） </p><p>　　這里假設(shè)歐式期權(quán)在T時(shí)刻的收益為某一確定收益函數(shù)f（S（T））（對于標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)，f（S（T））為max（S-K；0）或max（K-S；0））。從式（3）可知，期權(quán)生效日t=0那天的價(jià)值（也即期權(quán)的價(jià)格）為： </p><p>　　V（S，t=0）=e-rT </p><p>　　E[f（S（T））] （4）

11、 </p><p>　　公式（4）是Monte-Carlo方法計(jì)算歐式期權(quán)價(jià)格的起點(diǎn)，下面將利用Monte-Carlo方法來計(jì)算公式（4）中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)期望。 </p><p>　　在模型（2）式假設(shè)下，有≈Φ（rdt，σ）。因此有： </p><p>　　S（T）=S（0）e-（r-σ2/2）T+σW（t） </p><p><b>

12、;　　（5） </b></p><p>　　其中S（0）是在t=0時(shí)刻的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。由于W（t）服從均值為0、方差為的T正態(tài)分布。 如假設(shè)Z是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則可通過下式來計(jì)算式（5）： </p><p>　　S（T）=S（0）e（r-σ2/2）T+σ </p><p><b>　　Z </b></p>

13、<p><b>　?。?） </b></p><p>　　通過用Monte-Carlo方法分別近似式（6）以及式（4），從而就可得到歐式期權(quán)的價(jià)格近似值。為此，首先利用Matlab自帶的程序生成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量Z，然后由Z和式（6）就可生成隨機(jī)變量S（T）。 再通過下面的算法就可以得標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的價(jià)格的近似值： </p><p>　　for i

14、=1，…，n </p><p>　　隨機(jī)產(chǎn)生服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量zi： </p><p>　　Si=S（0）e（r-σ2/2）T+σ </p><p><b>　　Zi </b></p><p>　　Ci=e-rTmax（Si-K，0） （7） </p><p><b>　　end

15、 </b></p><p>　　令 n=（C1+C2+LCn）/n，則 為標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的價(jià)格的近似值。根據(jù)概率論中的大數(shù)定理，易知：當(dāng)n→+∞時(shí) n→e-rTE（max（S-K，0））。 　　說明1：如果把（7）式中的e-rTmax（Si-K，0）改為e-rTmax（K-Si，0），那么可通過上面的算法可以得到標(biāo)準(zhǔn)歐式看跌期權(quán)的價(jià)格的近似值。 </p><p>　　然而，

16、如果采用上面的標(biāo)準(zhǔn)Monte-Carlo方法，計(jì)算誤差可能較大。可通過下面兩種方法來分別減少此方法的計(jì)算誤差。 </p><p>　　（一）通過引入控制變量法（簡記為CV）來減少方法的計(jì)算誤差 </p><p>　　設(shè) 是通過Z（為一服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量）得到的歐式期權(quán)價(jià)格，而 *是通過Z*（也為一服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量）得到的歐式期權(quán)價(jià)格；V*是真正的歐式期權(quán)價(jià)格，它為一常數(shù)。

17、如果 與 *的相關(guān)系數(shù)較大，也即： </p><p>　　Cov（ ， *）≈Var（ ）+Var（ *） </p><p>　　從而：Cov（ ， *）>Var（ *）。如果我們再引入控制變量： </p><p>　　VCV= +V*- * （8） </p><p>　　由于Var（VCV）=Var（ - *）=Var（ ）+Var（

18、 *）-2Cov（ ， *），考慮到式（8），從而有Var（VCV）<Var（ ）。 </p><p>　?。ǘ┩ㄟ^引入對稱變量法（簡記為AV）來減少方法的計(jì)算誤差 </p><p>　　設(shè) +是通過Z（為一服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量）得到的歐式期權(quán)價(jià)格，而 -是通過-Z得到的歐式期權(quán)價(jià)格。可令： </p><p>　　VAV=（ ++ -） （9） <

19、;/p><p>　　它是通過引入對稱變量得到的新估計(jì)值。它可用來近似歐式期權(quán)的價(jià)格，并且它的方差滿足：Var（VAV）<Var（ +）。 </p><p>　　二、其他各種歐式期權(quán)的定價(jià) </p><p>　　在本節(jié)里，主要討論如何把第二節(jié)之中介紹的三種Monte-Carlo方法來推廣到歐式―兩值期權(quán)、歐式―回望期權(quán)以及歐式―亞式期權(quán)的價(jià)格計(jì)算中。 </p&

20、gt;<p>　　（一）歐式―兩值期權(quán)定價(jià)的Monte-Carlo法 </p><p>　　歐式―兩值期權(quán)具有兩種形式：現(xiàn)金期權(quán)和資產(chǎn)期權(quán)。它們又分為看漲期權(quán)與看跌期權(quán)?，F(xiàn)金看漲期權(quán)是指在到期日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格低于執(zhí)行價(jià)格時(shí)收益為零， 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格超過執(zhí)行價(jià)格時(shí)收益為一固定數(shù)額現(xiàn)金Q。因而，現(xiàn)金看漲期權(quán)在到期日的價(jià)格（或收益）為： </p><p>　　f（S（T））=Q S（

21、T）>K </p><p><b>　　0 S（T）≤K </b></p><p>　　資產(chǎn)看漲期權(quán)在到期日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格低于執(zhí)行價(jià)格時(shí)收益為零，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格超過執(zhí)行價(jià)格時(shí)收益為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格本身的款額，因而資產(chǎn)看漲期權(quán)收益為： </p><p>　　f（S（T））=S（T） S（T）>K </p><p>&l

22、t;b>　　0 S（T）≤K </b></p><p>　　由于歐式―兩值期權(quán)是弱路徑依賴期權(quán)，歐式―兩值期權(quán)價(jià)格的Monte-Carlo計(jì)算過程與標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的算法過程式（7）基本類似。 </p><p>　　對于現(xiàn)金看漲期權(quán)，只要把式（7）中的Ci=e-rTmax（Si-K，0）改為： </p><p>　　Ci=e-rTQ Si>K &

23、lt;/p><p>　　0 Si≤K （10） </p><p>　　對于資產(chǎn)看漲期權(quán)，只要把式（7）中的Ci=e-rTmax（Si-K，0）改為： </p><p>　　Ci=e-rTSi Si>K </p><p><b>　　0 Si≤K </b></p><p>　　同理，也可為現(xiàn)金看跌

24、期權(quán)價(jià)格與資產(chǎn)看跌期權(quán)價(jià)格的計(jì)算構(gòu)造相應(yīng)的Monte-Carlo計(jì)算法。 </p><p>　?。ǘW式―回望期權(quán)定價(jià)的Monte-Carlo法 </p><p>　　在期權(quán)的到期日那天（t=T），歐式―回望期權(quán)的收益取決于在一段特定時(shí)間內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的最高價(jià)或最低價(jià)。通常有兩種類型的歐式―回望期權(quán)，它們分別是固定的回望期權(quán)和浮動(dòng)的回望期權(quán)。 </p><p>

25、;　　假設(shè)J為一段時(shí)間（0≤t≤T）內(nèi)資產(chǎn)變化的最高價(jià)格，則浮動(dòng)的回望看跌期權(quán)的收益為f（S（T））=max（J-S（T），0），這里J=St。相應(yīng)地，浮動(dòng)的回望看漲期權(quán)的收益為f（S（T））= </p><p>　　max（S（T）-J，0）這里J=St。固定的回望看跌期權(quán)的收益為f（S（T））=max（K-J，0），這里J=St。同理，固定的回望看漲期權(quán)的收益為f（S（T））=max（J-K，0）這里J=St

26、。 </p><p>　　下面僅以浮動(dòng)的回望看漲期權(quán)為例子，采用n次離散抽樣，即得到式（6），從而就可知道最小值 J=min（St1，St2，…Stn）。于是，對浮動(dòng)的歐式―回望看漲期權(quán)的價(jià)格E[e-rT </p><p>　　f（ S（T））] ，可以采用以下的Monte-Carlo方法： </p><p>　　for i=1，…，m </p>&l

27、t;p>　　for j=1，…，n </p><p>　　隨機(jī)產(chǎn)生服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量zij： </p><p><b>　　Sitj=S </b></p><p>　　i（tj-1）e（r-σ2/2）（tj-ti）+σ </p><p><b>　　Zij </b></p>

28、<p><b>　　end </b></p><p>　　S（T）=Si（tn），J=min（Sit1，Sit2，…Sitn） </p><p>　　Ci=e-rT（S（T）-J）+ （11） </p><p><b>　　end </b></p><p>　　C=（C1+C2+…+C

29、m）/m </p><p>　　說明2：上面的算法可以用來計(jì)算浮動(dòng)的歐式―回望看跌期權(quán)的價(jià)格，只要將算法式（11）中的（S（T）-J）+改為（J-S（T））+（J=max（St1，St2，…Stn））。 </p><p>　　說明3：上面的算法也可以用來計(jì)算固定的歐式―回望看漲期權(quán)的價(jià)格，只要將算法式（11）中的（S（T）-J）+ 改為（K-J）+即可。 </p><p

30、>　　（三）歐式―亞式期權(quán)定價(jià)的Monte-Carlo法 </p><p>　　歐式―亞式期權(quán)賦予期權(quán)持有者在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)以平均價(jià)格買入標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。但是必須決定如何進(jìn)行抽樣，通常有兩種求抽樣的方式以及有兩種求平均值的方法（見表1）。 </p><p>　　亞式期權(quán)又可分為浮動(dòng)的執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)以及固定的執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)。當(dāng)執(zhí)行價(jià)格依賴于平均價(jià)格時(shí)，這種期權(quán)就叫作浮動(dòng)的執(zhí)行價(jià)格亞式

31、期權(quán)；當(dāng)執(zhí)行價(jià)格固定時(shí)，就稱該種期權(quán)為固定的執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)。各種亞式期權(quán)在交割日t=T那天的收益可以總結(jié)為： 　　對于固定的亞式期權(quán)：看漲期權(quán)的收益為：f（S（T））= </p><p>　　max{AT-K，0}；看跌期權(quán)的收益為：f（S（T））=max{K-AT，0}；對于浮動(dòng)的亞式期權(quán)：看漲期權(quán)的收益為：f（S（T））=max{S-AT，0}；看跌期權(quán)的收益為：f（S（T））=max{AT-S，0}。

32、</p><p>　　下面僅以固定的亞式看漲期權(quán)為例子，也采用n次算術(shù)平均離散抽樣，這里需要先知道平均值S=S（ti）。 為計(jì)算固定的亞式看漲期權(quán)的價(jià)格，也即E[e-rT（S-K）+]，可采用以下的Monte-Carlo方法： </p><p>　　for i=1，…，m </p><p>　　for j=1，…，n </p><p>　　隨

33、機(jī)產(chǎn)生服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量zij： </p><p><b>　　Sitj=S </b></p><p>　　i（tj-1）e（r-σ2/2）（tj-ti）+σ </p><p><b>　　Zij </b></p><p><b>　　end </b></p>

34、;<p>　　S=（Sit1，Sit2，…Sitn）/n （12） </p><p>　　Ci=e-rT（S-K）+ </p><p><b>　　end </b></p><p>　　C=（C1+C2+…+Cm）/m </p><p>　　說明4：上面的算法可以用來計(jì)算固定的亞式看跌期權(quán)的價(jià)格，只要將算法

35、式（12）中的（S-K）+改為（K-S）+。 </p><p>　　說明5：上面的算法也可以用來計(jì)算幾何平均抽樣下的固定亞式看漲期權(quán)的價(jià)格，只要將算法式（12）中的S=（Sit1，Sit2，…Sitn）/n改為S=exp（lnSitj ）即可。 </p><p><b>　　三、數(shù)值計(jì)算結(jié)果 </b></p><p>　　在本節(jié)里，分別記標(biāo)準(zhǔn)的

36、Monte-Carlo方法計(jì)算得到的價(jià)格為V、通過引入控制變量而改進(jìn)的Monte-Carlo方法計(jì)算得到的價(jià)格為CV、通過引入對稱變量得到的改進(jìn)Monte-Carlo方法計(jì)算得到的價(jià)格為AV。在編程計(jì)算中，對看漲期權(quán)，控制變量為標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)相對應(yīng)的參變量；對看跌期權(quán)，控制變量為標(biāo)準(zhǔn)歐式看跌期權(quán)相對應(yīng)的參變量。 </p><p>　?。ㄒ唬├肕onte-Carlo方法來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的價(jià)格 </p&g

37、t;<p>　　假設(shè)當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S=100，執(zhí)行價(jià)格K=100，短期利率r=0.1，到期日T=1（年），波動(dòng)率σ=0.25。對標(biāo)準(zhǔn)看漲期權(quán)以及看跌期權(quán)，它們價(jià)格都有準(zhǔn)確公式。通過公式，得到看漲期權(quán)準(zhǔn)確價(jià)格為14.9758、看跌期權(quán)準(zhǔn)確價(jià)格5.45954。對于看漲期權(quán)與看跌期權(quán)，編程計(jì)算結(jié)果分別（見表2、下頁表3）。 </p><p>　　觀察上頁表2與表3不難看出：未改進(jìn)的Monte-Carlo

38、方法得到的誤差較大；通過引入控制變量和引入對稱變量，都可提高M(jìn)onte-Carlo方法的精確度；相比較而言，通過引入控制變量得到的改進(jìn)Monte-Carlo方法精確度較高，通過引入對稱變量得到的改進(jìn)Monte-Carlo方法精確度相對較低。隨著模擬次數(shù)n的增大，各種Monte-Carlo方法精確度有相對的提高。 </p><p>　　（二）利用Monte-Carlo方法來計(jì)算歐式―兩值期權(quán)的價(jià)格 </p&g

39、t;<p>　　假設(shè)當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S=100，執(zhí)行價(jià)格K=100，短期利率r=0.1，到期日T=1（年），波動(dòng)率σ=0.25，現(xiàn)金值Q=1。對于現(xiàn)金看漲期權(quán)與現(xiàn)金看跌期權(quán)，通過編程算得它們的價(jià)格，計(jì)算結(jié)果分別（見表4、表5）。 </p><p>　　另外，對于資產(chǎn)看漲期權(quán)與資產(chǎn)看跌期權(quán)，它們的價(jià)格分別（見表6、下頁表7）。 </p><p>　　觀察表6與下頁表7可以看出：

40、隨著模擬次數(shù)n增大，標(biāo)準(zhǔn)的 Monte-Carlo方法與通過引入控制變量得到的改進(jìn)Monte-Carlo方法的收斂性較好。通過引入對稱變量得到的改進(jìn)Monte-Carlo方法的收斂性較差。當(dāng)模擬次數(shù)n很大時(shí)（如n=50 000），三者得到的結(jié)果非常接近。 </p><p>　?。ㄈ├肕onte-Carlo方法來計(jì)算浮動(dòng)的歐式―回望期權(quán)的價(jià)格 </p><p>　　假設(shè)當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)S=1

41、00，執(zhí)行價(jià)格K=120，短期利率r=0.1，到期日T=1（年），波動(dòng)率σ=0.25。對于看跌期權(quán)，通過計(jì)算得其準(zhǔn)確價(jià)格為14.2665；對于看漲期權(quán)，通過計(jì)算得其準(zhǔn)確價(jià)格為22.8 089（其公式參見[1]）。 </p><p>　　1.對于看跌期權(quán)，通過編程算得它的價(jià)格（見表8）。 </p><p>　　2.對于看漲期權(quán)，通過編程算得它的價(jià)格（見表9）。 </p><

42、;p>　　觀察表8、表9不難看出：隨著模擬次數(shù)m的分別增大，三種Monte-Carlo方法的收斂性都較好。在計(jì)算看漲期權(quán)的價(jià)格時(shí)，三種Monte-Carlo方法的誤差都較?。坏窃谟?jì)算看跌期權(quán)的價(jià)格時(shí)，三種Monte-Carlo方法的誤差都較大（通過增加模擬次數(shù)n，可適當(dāng)減少此誤差）。 </p><p>　　（四）利用Monte-Carlo方法來計(jì)算歐式―亞式期權(quán)的價(jià)格 </p><p&

43、gt;　　假設(shè)當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S=100，執(zhí)行價(jià)格K=120，短期利率r=0.1，到期日T=1（年），波動(dòng)率σ=0.25。在下面的計(jì)算中僅僅考慮離散抽樣和固定的亞式期權(quán)的計(jì)算。并且分別記算術(shù)平均抽樣的亞式看漲期權(quán)為（I）、算術(shù)平均抽樣的亞式看跌期權(quán)為（II）、幾何平均抽樣的亞式看漲期權(quán)為（III）以及幾何平均抽樣的亞式看跌期權(quán)為（IV）。通過編程算得它們的價(jià)格，計(jì)算結(jié)果分別（見表10與表11（在計(jì)算中，抽樣次數(shù)m = 5 000； n

44、= 250））。 </p><p>　　觀察表10、表11不難看出：除了亞式期權(quán)（III）的計(jì)算結(jié)果，三種方法的計(jì)算結(jié)果均較為接近。產(chǎn)生的原因可能是：在亞式期權(quán)（III）的計(jì)算中，生成的隨機(jī)數(shù)是偽（下轉(zhuǎn)112頁）（上接108頁）隨機(jī)數(shù)，它們可能造成計(jì)算產(chǎn)生較大誤差。 </p><p><b>　　結(jié)論 </b></p><p>　　根據(jù)Blac

45、k-Scholes期權(quán)定價(jià)模型以及風(fēng)險(xiǎn)中性理論，本文詳細(xì)地討論了各種歐式期權(quán)價(jià)格的Monte-Carlo方法。通過編程計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)Monte-Carlo方法的主要優(yōu)點(diǎn)是該方法具有一般性，可推廣應(yīng)用于各種期權(quán)價(jià)格的計(jì)算中。缺點(diǎn)是精確度較低，計(jì)算量較大。本文也發(fā)現(xiàn)通過減少隨機(jī)變量的方差（如引入控制變量以及對稱變量）是可以大幅提高M(jìn)onte-Carlo方法的精確度。筆者相信本文研究的Monte-Carlo方法可以推廣應(yīng)用到其他類型的期權(quán)包括

46、美式期權(quán)、利率期權(quán)以及債券期權(quán)等的定價(jià)中。 　　參考文獻(xiàn)： </p><p>　　[1] 姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2003. </p><p>　　[2] [英]Robert.Tompkins.解讀期權(quán)[M].陳宋生，崔宏，劉鋒，譯.北京：經(jīng)濟(jì)管理出版社，2003. </p><p>　　[3] 姜禮尚，等.金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的

47、數(shù)學(xué)模型與案例分析[M].北京：高等教育出版社，2007. </p><p>　　[4] 馬俊海.金融衍生證券定價(jià)的數(shù)值分析方法[M].杭州：浙江人民出版社，2002. </p><p>　　[5] J.C.Hull.Options，futures and other derivatives，Prentice-Hall，London，1989. </p><p>　

48、　[6] P.Wilmott，S.Howison，J.Dewynne.The mathematics of financial derivatives[M].Camberidge University Press，Cambridge，1995. </p><p>　　[7] P.Wilmott，J.Dewynne and J.Howison.Option Pricing：Mathematical Models a

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50、hods in Financial Engineering[M].Springer，2003. </p><p>　　[10] 宗琮，傅文月，羅秋瑾，王漢權(quán).求解期權(quán)定價(jià)問題的一種Chebyshev―譜方法[J].福州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，（2）：150-153. </p><p>　　Monte-Carlo methods for Pricing European-style

51、 options </p><p>　　ZHANG Li-hong </p><p>　?。⊿chool of Marxism，Yunnan University of Finance and Economics，Kunming 650221，China） </p><p>　　Abstract：We discuss Monte-Carlo methods for

52、pricing European options.Based on the famous Black-Scholes model，we first discuss the Monte-Carlo simulation method to pricing standard European options according to Risk neutral theory.Methods to improve the Monte-Carlo

53、 simulation performance including introducing control variates and antithetic variates are also discussed.Finally we apply the proposed Monte-Carlo methods to price the European binary options，European lookback options a