28.2.1 解直角三角形

1、28．2．1 解直角三角形 解直角三角形1．理解解直角三角形的意義和條件；(重點)2．根據(jù)元素間的關(guān)系，選擇適當?shù)年P(guān)系式，求出所有未知元素．(難點)一、情境導入世界遺產(chǎn)意大利比薩斜塔在 1350 年落成時就已傾斜．設(shè)塔頂中心點為 B, 塔身中心線與垂直中心線夾角為∠A，過點 B 向垂直中心線引垂線，垂足為點 C.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A 的度數(shù)．在上述的 Rt△ABC

2、 中，你還能求其他未知的邊和角嗎？二、合作探究探究點一：解直角三角形【類型一】 利用解直角三角形求邊或角已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的對邊分別為 a，b，c，按下列條件解直角三角形．(1)若 a＝36，∠B＝30°，求∠A 的度數(shù)和邊 b、c 的長；(2)若 a＝6 ，b＝6 ，求∠A、∠B 的度數(shù)和邊 c 的長． 2 6解析：(1)已知直角邊和一個銳角，解直角三角形；(2)已知兩條直角

3、邊，解直角三角形．解：(1)在 Rt△ABC 中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝ac，即 c＝ ＝ ＝24 ，∴b＝sinB·c＝ ×24 ＝12 ；acosB36323 12 3 3(2)在 Rt△ABC 中，∵a＝6 ，b＝6 ，∴tanA＝ ＝ ，∴∠A＝30°，∴∠B＝60 2 6 ab33°，∴c＝2a＝12 . 2方法

4、總結(jié)：解直角三角形時應(yīng)求出所有未知元素，解題時盡可能地選擇包含所求元素與兩個已知元素的關(guān)系式求解．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練” 第 4 題【類型二】 構(gòu)造直角三角形解決長度問題一副直角三角板如圖放置，點 C 在 FD 的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 ，試求 CD 的長． 2解：如圖，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝ ，∵周長為 2

5、＋ ，∴AB＝AC＝1.過 A 作 2 2AD⊥BC 于點 D，則 BD＝ ，在 Rt△ABD 中，cos∠ABD＝ ＝ ，∴∠ABD＝45°，即22BDAB22等腰三角形的底角為 45°.方法總結(jié)：求角的度數(shù)時，可考慮利用特殊角的三角函數(shù)值．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第 2 題【類型二】 解直角三角形與圓的綜合已知：如圖，Rt△AOB 中，∠O＝90°，以 OA 為半徑作⊙O，BC

6、切⊙O 于點C，連接 AC 交 OB 于點 P.(1)求證：BP＝BC；(2)若 sin∠PAO＝ ，且 PC＝7，求⊙O 的半徑．13解析：(1)連接 OC，由切線的性質(zhì)，可得∠OCB＝90°，由 OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，再由∠AOB＝90°，可得出所要求證的結(jié)論；(2)延長 AO 交⊙O 于點 E，連接CE，在 Rt△AOP 和 Rt△ACE 中，根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理，列方程解答．解：(1)連接 OC

7、，∵BC 是⊙O 的切線，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°，∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP；(2)延長 AO 交⊙O 于點 E，連接 CE，在 Rt△AOP 中，∵sin∠PAO＝ ，設(shè) OP＝x，13AP＝3x，∴AO＝2 x.∵