3.3隨機向量的函數(shù)的分布與數(shù)學期望

1、§3?3 隨機向量的函數(shù)的分布與數(shù)學期望,一、離散型隨機向量的函數(shù)的分布,二、連續(xù)型隨機向量的函數(shù)的分布,三、隨機向量的函數(shù)的數(shù)學期望,四、數(shù)學期望的進一步性質,一、離散型隨機向量的函數(shù)的分布,設(X? Y)是二維離散型隨機向量? g(x? y)是一個二元函數(shù)? 則g(X? Y)作為(X? Y)的函數(shù)是一個隨機變量? 如果(X? Y)的概率分布為 P{X?xi? Y?yj}?pij? i? j

2、?1?2? ??? ? 記zk(k?1? 2? ??? )為Z?g(X? Y)的所有可能取值? 則Z的概率分布為,P{Z?zk}?P{g(X? Y)?zk},例3?12(1) 已知(X? Y)的概率分布? 求??X?Y的概率分布?,??X?Y的可能取值有? ?1? 0? 1? 2? 3? 4? ?的概率分布為?,解,P{???1}?P{X?Y??1},?P{X?0? Y??1},?0?1?,P{??0}?P{X?Y?0},?P{X?

3、0? Y?0}?P{X?1? Y??1},?0?5?,P{??1}?P{X?Y?1},?0?2?,?P{X?1? Y?0}?P{X?2? Y??1},P{??2}?P{X?Y?2},?P{X?0? Y?2}?P{X?2? Y?0},?0?,P{??3}?P{X?Y?3},?P{X?1? Y?2},?0?1?,P{??4}?P{X?Y?4},?P{X?2? Y?2},?0?1?,例3?12(2) 已知(X? Y)的概率分布? 求??XY

4、的概率分布?,??XY的可能取值有? ?2? ?1? 0? 4? ?的概率分布為?,解,P{???2},?P{X?2? Y??1},?0?15?,P{???1},?P{X?1? Y??1},?0?3?,P{??0},?P{X?0? Y??1}?P{X?0? Y?0}?P{X?0? Y?2},?P{X?1? Y?0}?P{X?2? Y?0},?0?35?,P{??2},?P{X?1? Y?2},?0?1?,P{??4},?P{X?2? Y

5、?2},?0?1?,P{??k}?P{X?Y?k},例3?13 設X? Y是兩個相互獨立的隨機變量? 分別服從參數(shù)為?1和?2的泊松分布? 求??X?Y的分布?,解,可見??X?Y服從參數(shù)為?1??2的泊松分布?,二、連續(xù)型隨機向量的函數(shù)的分布,設(X? Y)是二維連續(xù)型隨機向量? 其概率密度函數(shù)為f(x? y)?令g(x? y)為一個二元函數(shù)? 則Z?g(X? Y)的分布函數(shù)為,FZ(z)?P{Z?z},?P{g(X? Y)?z}

6、,?P{(X? Y)?Dz},其中Dz?{(x? y)|g(x? y)? z}? 繼而? 其密度函數(shù)fZ(z)? 對幾乎所有的 z? 有,例3?14(隨機變量的和) 設(X? Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x? y)? 求X?Y的密度函數(shù)?,對任意z? 令Dz?{(x? y)| x?y?z}? 則,解,FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z},例3?14(隨機變量的和) 設(X? Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x? y)?

7、求X?Y的密度函數(shù)?,對任意z? 令Dz?{(x? y)| x?y?z}? 則,解,FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z},于是? 有,易見? 交換積分次序? 我們亦可得到,特別地? 如果X與Y是相互獨立的隨機變量? 則,獨立正態(tài)隨機變量之和的分布,則其任意非零線性組合仍服從正態(tài)分布? 且,其中a? b不全為0? 這一結論還可以推廣到n個隨機變量的情形?,三、隨機向量的函數(shù)的數(shù)學期望,設隨機向量(X? Y)的函數(shù)Z

8、?g(X? Y)的數(shù)學期望存在?,(1)設(X? Y)是二維離散型隨機向量? 其概率分布為 P{X?xi? Y?yj}?pij? i? j?1? 2? ??? ?,(2)設(X? Y)是二維連續(xù)型隨機向量? 其密度函數(shù)為f(x? y)?,解,例3?20 已知隨機向量(X? Y)的概率分布? 求EXY?,EXY,解,?0?,?2?2?0?1,?2?0?0,?2?(?1)?0?15,?1?2?0?1,?1?

9、0?0?05,?1?(?1)?0?3,?0?2?0,?0?0?0?2,?0?(?1)?0?1,例3?21 一商店經(jīng)銷某種商品? 每周進貨量X與顧客對該商品的需求量Y是相互獨立的隨機變量? 且都服從區(qū)間[10? 20]上的均勻分布? 商店每售出一單位商品可得利潤1000元? 若需求量超過進貨量? 商店可從其他商店調劑供應? 這時每單位商品獲利潤為500元? 試計算此商品經(jīng)銷商經(jīng)銷該種商品每周所獲平均利潤?,設Z表示商店每周所獲利潤? 由

10、題設有,解,由于(X? Y)的密度函數(shù)為,設Z表示商店每周所獲利潤? 由題設有,解,由于(X? Y)的密度函數(shù)為,所以有,?14166?67(元)?,四、數(shù)學期望的進一步性質,性質1 對任意兩個隨機變量X? Y? 如果其數(shù)學期望均存在? 則E(X?Y)存在? 且 E(X?Y)?EX?EY? (3?53),