非線性數(shù)學期望下的貝葉斯推斷及隨機微分方程.pdf

1、對非線性數(shù)學期望下概率與統(tǒng)計相關問題的研究，一方面是概率論基礎理論研究的發(fā)展趨勢，另一方面源于人們對于金融市場中日益增長的不確定性問題的探索。如何采用適當?shù)姆椒▉碓u估、管理和控制來自衍生品交易的內(nèi)在風險顯得尤為重要，金融市場風險度量已成為全球經(jīng)濟學家與數(shù)學家研究的重點領域。一個非常具有挑戰(zhàn)性的問題是，金融衍生品的風險行為是非線性的，經(jīng)典概率論中對于概率和期望的線性假設已經(jīng)難以刻畫風險行為的次線性本質(zhì)。許多專家因此引入了非線性期望的概念來

2、度量不確定性。
　　受到以上內(nèi)容的啟發(fā)，本篇博士論文進行了部分研究工作，主要內(nèi)容包括:
　　1.首次提出了在不確定性環(huán)境下，計算貝葉斯后驗分布最大期望與最小期望的一種新方法——PSI方法，創(chuàng)新性地引入輔助性的超先驗分布并將不確定性因素參數(shù)化，從而將方法廣泛地應用于多種不確定性情形下。
　　2.研究了G-隨機微分方程解的漸近估計，得到了次線性期望空間下G-隨機微分方程解的重對數(shù)估計，且給出了一類多維G-隨機微分方程解的漸

3、近估計并推廣到更一般的形式。
　　3.對G-隨機微分方程解的相關性質(zhì)進行深入研究，分別探討了一階和二階G-隨機微分方程解的有界性與平穩(wěn)性，給出了有界性與平穩(wěn)性的充分條件并舉出相應的例證。
　　4.進一步研究G-期望空間的相關性質(zhì)，將Lyapunov定理從經(jīng)典的單一線性概率情形推廣到了G-期望下一族概率測度的情形，給出了G-隨機微分方程的解在容度意義下的平穩(wěn)性。
　　下面我們來介紹一下每章的工作，這些結(jié)果是由我在博士期間

4、完成的五篇論文整合而成的，其中兩篇已在SCI期刊正式發(fā)表，其余三篇已送審。
　　第一章本章給出了不確定性環(huán)境下，計算貝葉斯后驗分布最大期望與最小期望的一種新方法——PSI方法，可將諸如先驗分布或者似然函數(shù)選擇的多種不確定性考慮在內(nèi)，將不確定性都通過不確定性指標進行參數(shù)化，且在這個指標參數(shù)的基礎上創(chuàng)新性地引入輔助性的超先驗分布，運用Metropolis算法生成Monte Carlo樣本，并對后驗分布的最大期望與最小期望進行估計。本章

5、最大的貢獻就是對于所有可能的不確定性場景，都只需要進行一次Monte Carlo抽樣來計算后驗分布期望，從而大大減少了傳統(tǒng)分析法中繁瑣的運算量。
　　1.1 PSI算法及理論支持
　　我們提出的算法有三個步驟(記做PSI):
　　1.(Prior Step)引入?yún)?shù)λ的輔助性超先驗分布π（λ），其中參數(shù)λ代表不確定性。
　　2.(Sampling Step)對于任意目標參數(shù)X，利用MCMC方法，從給定觀測樣本數(shù)據(jù)

6、條件下的聯(lián)合后驗分布中進行(X，λ)的樣本抽樣:(X，λ)～π(X,λ|D)∝π(λ)f(X|λ)f(D|X，λ).注意到在很多時候，目標參數(shù)X=F(θ，λ)可能是標量函數(shù)，其中θ是模型中生成數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。在更一般的情形下，我們可以將Sampling Step拆分為下面兩個步驟:
　　(1)利用MCMC方法從（θ，λ）的聯(lián)合后驗分布中抽樣，其中θ是數(shù)據(jù)生成過程中的結(jié)構(gòu)參數(shù)。
　　(2)對于任意目標參數(shù)X=F(θ，λ)，可計

7、算相應的后驗分布的（X，λ）樣本。
　　3.(Inference Step)基于（X，λ）的后驗樣本，我們可以估計后驗分布期望的范圍{infλ E(X|λ, data)，supλ E(X|λ, data)}，以及相應的其他任意后驗分布分位數(shù)的范圍。
　　1.2多種不確定性環(huán)境下的數(shù)值分析
　　我們將算法推廣到應用層面，給出了先驗分布不確定、模型選擇不確定以及數(shù)據(jù)不確定等不確定性環(huán)境下計算后驗分布最大期望與最小期望的數(shù)值

8、分析，詳細的案例分析請參見正文部分。我們采用模擬數(shù)據(jù)，分別利用局部加權回歸散點平滑法(locallyweighted scatterplot smoothing，簡記為lowess)以及Metropolis-Hastings抽樣算法完成貝葉斯推斷分析。所有程序均使用R語言編程實現(xiàn)。
　　第二章我們在本章中研究G-隨機微分方程的解的漸近估計，給出了次線性期望空間下G-隨機微分方程解的重對數(shù)估計，以及一類多維G-隨機微分方程解的漸近估

9、計并推廣到了更一般的形式。
　　我們考慮由m維G-布朗運動驅(qū)動的d維隨機微分方程dXt=f(Xt，t)dt+hi(Xt，t)dBit+gij(Xt，t)dt， t∈[t0，∞），(0.0.2)其中1≤i，j≤m，初始值Xt0=X0∈Rd，其中Bt是m維的G-布朗運動。假設方程的系數(shù)f，hi和gij滿足相應條件，從而使得方程在[t0，∞）上有一個唯一的解Xt。
　　2.1 G-隨機微分方程解的重對數(shù)估計
　

10、　接下來，我們考慮方程(0.0.2)的一個特殊形式，即dXt=f(Xt，t)dt+ΛidBit+g（Xt，t）dt， t∈[t0，∞）(0.0.5)其中1≤i，j≤m，初始值Xt0=X0∈Rd，Λi是給定的矩陣Λ∈Rd×m的第i列。
　　眾所周知，在經(jīng)典線性概率空間下，重對數(shù)律(LIL)是最重要的極限定理之一P(lim sup n→∞Sn/√2n log log n=σ)=1.Chen和Hu(2014)給出了非線性期

11、望下的重對數(shù)律，與經(jīng)典情形下收斂到一個固定點不同的是，非線性期望下的重對數(shù)律是收斂到一個區(qū)間，即:v((σ)≤lim sup n→∞ Sn/√2n loglogn≤(σ))=1，其中v是相應的Choquet容度。因此定理0.2可被看做非線性條件下G-隨機微分方程解的重對數(shù)估計。
　　2.2多維G-隨機微分方程解的漸近估計
　　事實上，只要f和gij線性增長，定理0.2-0.4中的G-Novikov條件就都滿足。在這種情況下，

12、只要系數(shù)h(x，t)是有界的，上述的結(jié)論都可以適用于隨機微分方程(0.0.2)。更具體的說，如果存在一個C＞0使得‖h(x，t)‖≤C，對于所有的(x，t)∈Rd×[t0，∞）成立，則定理0.3-0.4的結(jié)論對于隨機微分方程(0.0.2)也依然成立，相應的(0.0.7)和(0.0.13)中的‖Λ‖應該替換為C。
　　第三章本章的工作分為兩大部分，第一部分在次線性期望下，研究一階G-隨機微分方程解的有界性與平穩(wěn)性，并給出相應的例證。

13、第二部分，對二階G-隨機微分方程解的有界性與平穩(wěn)性進行研究，并給出相應的有界性與平穩(wěn)性的充分條件。
　　3.1一階G-隨機微分方程解的有界性與平穩(wěn)性
　　記C(R+;R+)為非負域下的連續(xù)函數(shù)族。令C1，2（Rd×R+;R+）為定義在Rd×R+上的非負函數(shù)族V(x，t)，關于x二階連續(xù)可導且關于t連續(xù)可導。現(xiàn)在我們考慮以下由m維G-布朗運動驅(qū)動的d維隨機微分方程dXt=f(Xt，t)dt+gi(Xt，t)dBit+hij(X

14、t，t)dt， t∈[t0，∞）(0.0.14)初始值Xt0=x0∈Rd，t0≥0。(Bi，Bj)=（）i，j=1，…，m是B的交互變差矩陣。在C1，2(Rd×R+;R+)上定義一個算子L，如下所示LV=(6)tV+(6)xiVfi+G（（(6)xkV（hkij+hkji）+(6)2lkVgligkj）mi,j=1）.
　　3.2二階G-隨機微分方程解的有界性與平穩(wěn)性
　　3.2.1關于時間的二階

15、G-隨機微分方程
　　考慮G-隨機微分方程{dXt=Ytdt，(0.0.30)dYt=(-αXt-βYt)dt+g(Xt，Yt)dBt.其中α和β是大于零的常數(shù)。函數(shù)g在R2上連續(xù)，且滿足局部Lipschitz條件，從而可保證(0.0.30)存在一個唯一連續(xù)解，記作X=(xt，yt)。
　　定義連續(xù)可微函數(shù)V(X，t）=V（xt，yt，t）如下V=1/2[α(β+1)x2+βy2+（βx+y）2].(0.0.31)其中α，β

16、是大于零的常數(shù)。我們現(xiàn)在來研究G-隨機微分方程(0.0.30)解的有關性質(zhì)。
　　3.2.2關于二次變差過程的二階G-隨機微分方程
　　考慮下面的G-隨機微分方程{dXt=Ytdt,(0.0.37)dYt=(-αXt-βYt)dt+g(Xt,Yt)dBt.其中α和β是大于零的常數(shù)。函數(shù)g在R2上連續(xù)，且滿足局部Lipschitz條件，從而可保證(0.0.37)存在一個唯一連續(xù)解，記作X=(xt，yt)。需要指出的