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文檔簡介
1、對非線性數(shù)學(xué)期望下概率與統(tǒng)計相關(guān)問題的研究,一方面是概率論基礎(chǔ)理論研究的發(fā)展趨勢,另一方面源于人們對于金融市場中日益增長的不確定性問題的探索。如何采用適當(dāng)?shù)姆椒▉碓u估、管理和控制來自衍生品交易的內(nèi)在風(fēng)險顯得尤為重要,金融市場風(fēng)險度量已成為全球經(jīng)濟學(xué)家與數(shù)學(xué)家研究的重點領(lǐng)域。一個非常具有挑戰(zhàn)性的問題是,金融衍生品的風(fēng)險行為是非線性的,經(jīng)典概率論中對于概率和期望的線性假設(shè)已經(jīng)難以刻畫風(fēng)險行為的次線性本質(zhì)。許多專家因此引入了非線性期望的概念來
2、度量不確定性。
受到以上內(nèi)容的啟發(fā),本篇博士論文進行了部分研究工作,主要內(nèi)容包括:
1.首次提出了在不確定性環(huán)境下,計算貝葉斯后驗分布最大期望與最小期望的一種新方法——PSI方法,創(chuàng)新性地引入輔助性的超先驗分布并將不確定性因素參數(shù)化,從而將方法廣泛地應(yīng)用于多種不確定性情形下。
2.研究了G-隨機微分方程解的漸近估計,得到了次線性期望空間下G-隨機微分方程解的重對數(shù)估計,且給出了一類多維G-隨機微分方程解的漸
3、近估計并推廣到更一般的形式。
3.對G-隨機微分方程解的相關(guān)性質(zhì)進行深入研究,分別探討了一階和二階G-隨機微分方程解的有界性與平穩(wěn)性,給出了有界性與平穩(wěn)性的充分條件并舉出相應(yīng)的例證。
4.進一步研究G-期望空間的相關(guān)性質(zhì),將Lyapunov定理從經(jīng)典的單一線性概率情形推廣到了G-期望下一族概率測度的情形,給出了G-隨機微分方程的解在容度意義下的平穩(wěn)性。
下面我們來介紹一下每章的工作,這些結(jié)果是由我在博士期間
4、完成的五篇論文整合而成的,其中兩篇已在SCI期刊正式發(fā)表,其余三篇已送審。
第一章本章給出了不確定性環(huán)境下,計算貝葉斯后驗分布最大期望與最小期望的一種新方法——PSI方法,可將諸如先驗分布或者似然函數(shù)選擇的多種不確定性考慮在內(nèi),將不確定性都通過不確定性指標(biāo)進行參數(shù)化,且在這個指標(biāo)參數(shù)的基礎(chǔ)上創(chuàng)新性地引入輔助性的超先驗分布,運用Metropolis算法生成Monte Carlo樣本,并對后驗分布的最大期望與最小期望進行估計。本章
5、最大的貢獻就是對于所有可能的不確定性場景,都只需要進行一次Monte Carlo抽樣來計算后驗分布期望,從而大大減少了傳統(tǒng)分析法中繁瑣的運算量。
1.1 PSI算法及理論支持
我們提出的算法有三個步驟(記做PSI):
1.(Prior Step)引入?yún)?shù)λ的輔助性超先驗分布π(λ),其中參數(shù)λ代表不確定性。
2.(Sampling Step)對于任意目標(biāo)參數(shù)X,利用MCMC方法,從給定觀測樣本數(shù)據(jù)
6、條件下的聯(lián)合后驗分布中進行(X,λ)的樣本抽樣:(X,λ)~π(X,λ|D)∝π(λ)f(X|λ)f(D|X,λ).注意到在很多時候,目標(biāo)參數(shù)X=F(θ,λ)可能是標(biāo)量函數(shù),其中θ是模型中生成數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。在更一般的情形下,我們可以將Sampling Step拆分為下面兩個步驟:
(1)利用MCMC方法從(θ,λ)的聯(lián)合后驗分布中抽樣,其中θ是數(shù)據(jù)生成過程中的結(jié)構(gòu)參數(shù)。
(2)對于任意目標(biāo)參數(shù)X=F(θ,λ),可計
7、算相應(yīng)的后驗分布的(X,λ)樣本。
3.(Inference Step)基于(X,λ)的后驗樣本,我們可以估計后驗分布期望的范圍{infλ E(X|λ, data),supλ E(X|λ, data)},以及相應(yīng)的其他任意后驗分布分位數(shù)的范圍。
1.2多種不確定性環(huán)境下的數(shù)值分析
我們將算法推廣到應(yīng)用層面,給出了先驗分布不確定、模型選擇不確定以及數(shù)據(jù)不確定等不確定性環(huán)境下計算后驗分布最大期望與最小期望的數(shù)值
8、分析,詳細的案例分析請參見正文部分。我們采用模擬數(shù)據(jù),分別利用局部加權(quán)回歸散點平滑法(locallyweighted scatterplot smoothing,簡記為lowess)以及Metropolis-Hastings抽樣算法完成貝葉斯推斷分析。所有程序均使用R語言編程實現(xiàn)。
第二章我們在本章中研究G-隨機微分方程的解的漸近估計,給出了次線性期望空間下G-隨機微分方程解的重對數(shù)估計,以及一類多維G-隨機微分方程解的漸近估
9、計并推廣到了更一般的形式。
我們考慮由m維G-布朗運動驅(qū)動的d維隨機微分方程dXt=f(Xt,t)dt+hi(Xt,t)dBit+gij(Xt,t)d
2.1 G-隨機微分方程解的重對數(shù)估計
10、 接下來,我們考慮方程(0.0.2)的一個特殊形式,即dXt=f(Xt,t)dt+ΛidBit+g(Xt,t)d
眾所周知,在經(jīng)典線性概率空間下,重對數(shù)律(LIL)是最重要的極限定理之一P(lim sup n→∞Sn/√2n log log n=σ)=1.Chen和Hu(2014)給出了非線性期
11、望下的重對數(shù)律,與經(jīng)典情形下收斂到一個固定點不同的是,非線性期望下的重對數(shù)律是收斂到一個區(qū)間,即:v((σ)≤lim sup n→∞ Sn/√2n loglogn≤(σ))=1,其中v是相應(yīng)的Choquet容度。因此定理0.2可被看做非線性條件下G-隨機微分方程解的重對數(shù)估計。
2.2多維G-隨機微分方程解的漸近估計
事實上,只要f和gij線性增長,定理0.2-0.4中的G-Novikov條件就都滿足。在這種情況下,
12、只要系數(shù)h(x,t)是有界的,上述的結(jié)論都可以適用于隨機微分方程(0.0.2)。更具體的說,如果存在一個C>0使得‖h(x,t)‖≤C,對于所有的(x,t)∈Rd×[t0,∞)成立,則定理0.3-0.4的結(jié)論對于隨機微分方程(0.0.2)也依然成立,相應(yīng)的(0.0.7)和(0.0.13)中的‖Λ‖應(yīng)該替換為C。
第三章本章的工作分為兩大部分,第一部分在次線性期望下,研究一階G-隨機微分方程解的有界性與平穩(wěn)性,并給出相應(yīng)的例證。
13、第二部分,對二階G-隨機微分方程解的有界性與平穩(wěn)性進行研究,并給出相應(yīng)的有界性與平穩(wěn)性的充分條件。
3.1一階G-隨機微分方程解的有界性與平穩(wěn)性
記C(R+;R+)為非負域下的連續(xù)函數(shù)族。令C1,2(Rd×R+;R+)為定義在Rd×R+上的非負函數(shù)族V(x,t),關(guān)于x二階連續(xù)可導(dǎo)且關(guān)于t連續(xù)可導(dǎo)?,F(xiàn)在我們考慮以下由m維G-布朗運動驅(qū)動的d維隨機微分方程dXt=f(Xt,t)dt+gi(Xt,t)dBit+hij(X
14、t,t)d
3.2二階G-隨機微分方程解的有界性與平穩(wěn)性
3.2.1關(guān)于時間的二階
15、G-隨機微分方程
考慮G-隨機微分方程{dXt=Ytdt,(0.0.30)dYt=(-αXt-βYt)dt+g(Xt,Yt)dBt.其中α和β是大于零的常數(shù)。函數(shù)g在R2上連續(xù),且滿足局部Lipschitz條件,從而可保證(0.0.30)存在一個唯一連續(xù)解,記作X=(xt,yt)。
定義連續(xù)可微函數(shù)V(X,t)=V(xt,yt,t)如下V=1/2[α(β+1)x2+βy2+(βx+y)2].(0.0.31)其中α,β
16、是大于零的常數(shù)。我們現(xiàn)在來研究G-隨機微分方程(0.0.30)解的有關(guān)性質(zhì)。
3.2.2關(guān)于二次變差過程的二階G-隨機微分方程
考慮下面的G-隨機微分方程{dXt=Ytdt,(0.0.37)dYt=(-αXt-βYt)dt+g(Xt,Yt)dBt.其中α和β是大于零的常數(shù)。函數(shù)g在R2上連續(xù),且滿足局部Lipschitz條件,從而可保證(0.0.37)存在一個唯一連續(xù)解,記作X=(xt,yt)。需要指出的
17、是,與線性期望空間下不同,G-期望空間下G-布朗運動的二次變差過程為t,與t不同。因此我們對關(guān)于二次變差過程的G-隨機微分方程進行了研究。
第四章本章進一步研究G-期望空間的相關(guān)性質(zhì),將Lyapunov定理從經(jīng)典的單一線性概率情形推廣到了G-期望下一族概率測度的情形,給出了G-隨機微分方程的解在容度意義下的平穩(wěn)性。
實際上,在上述三個定理的證明中考慮下列函數(shù)L(x,t):=(6)tV(x,t)+f(x,t)(6
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