非線性數(shù)學(xué)期望的性質(zhì).pdf

1、自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中存在著很多不確定現(xiàn)象不能用線性數(shù)學(xué)期望來精確描述的。例如經(jīng)濟(jì)理論中如何度量不確定環(huán)境下人們的偏好問題，最常用的方法是期望效用法，但是自從Allais悖論和Ellsberg悖論提出后，期望效用方法受到了有力的挑戰(zhàn)，而數(shù)學(xué)期望的線性性是導(dǎo)致悖論的重要原因之一。研究者們嘗試使用非線性數(shù)學(xué)期望來處理這些問題。 從上世紀(jì)90年代開始，基于倒向微分方程的g-期望及其相關(guān)性質(zhì)得到了廣大的發(fā)展，解決了各個(gè)領(lǐng)域的很多現(xiàn)實(shí)問題。

2、在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中已有的一個(gè)著名模型正好就是一個(gè)倒向隨機(jī)微分方程，而獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的Black-Sehoies公式則是這個(gè)方程的解。這個(gè)公式每天都被用來計(jì)算數(shù)十億乃至數(shù)百億美元的風(fēng)險(xiǎn)金融資產(chǎn)的價(jià)格，而關(guān)于倒向微分方程以及g-期望的理論研究成果可以用來求解更一般和更復(fù)雜的情況下的風(fēng)險(xiǎn)金融資產(chǎn)價(jià)格，目前已被公認(rèn)為研究金融市場(chǎng)的衍生證券定價(jià)理論的基礎(chǔ)工具。 本文介紹了適用于動(dòng)態(tài)模型的非線性條件數(shù)學(xué)期望已有的一些性質(zhì)，如生成元g滿足超齊次

3、可加性時(shí)，g-期望滿足Jensen不等式、F-期望ε[.]滿足超齊次性并且滿足常數(shù)可加性時(shí)，F(xiàn)-期望也滿足Jensen不等式；生成元g滿足關(guān)于z是線性的或者g-期望是共單調(diào)可加時(shí)，g-期望可以表示成Choquet積分的形式。 另外還獨(dú)立地討論了條件F-期望的共單調(diào)可加性。Jiang(2006，[19])討論了當(dāng)g-期望滿足共單調(diào)可加性以及次(超)可加性時(shí)，條件g-期望也滿足共單調(diào)可加性。本文簡(jiǎn)化了該定理的證明，并且將此性質(zhì)推廣到