次線性數(shù)學(xué)期望及其在博弈論中的應(yīng)用.pdf

1、1933年，AndreyKolmogorov發(fā)表了著作《概率論基礎(chǔ)》（初稿為德語，GrundbegriffederWahrscheinlichkeitsrechnung），建立了現(xiàn)代概率論的公理體系.給定可測空間（Ω，F(xiàn)）上的概率測度P，則關(guān)于F可測的隨機(jī)變量X的期望Ep[X]定義為積分∫ΩXdP.顯然，由于概率測度P是線性的，從而Ep[·]為一個(gè)線性泛函.然而，許多不確定性現(xiàn)象并不能很好的用上述線性概率和線性期望來建模.
　　

2、 一個(gè)很有趣的問題是如何建立非線性期望以及相應(yīng)的條件期望.容度和Choquet期望（或Choquet積分）的概念由Choquet[17]引入，它們被廣泛的應(yīng)用于位勢論（參見，Choquet[17]，Doob[34]）和決策論(參見，Schmeidler[108]，Gilboa和Schmeidler[48]).然而據(jù)我們所知，條件Choquet期望的概念并沒有被人們很好的理解，從而它們很難用于處理經(jīng)濟(jì)中的動(dòng)態(tài)問題.另一重要的非線性期望-g

3、-期望在Peng[85]中通過倒向隨機(jī)微分方程來引入.它是一個(gè)理想的框架來度量概率不確定模型的隨機(jī)性和風(fēng)險(xiǎn)(參見，Chen和Epstein[12]，F(xiàn)ritelli和RossazaGianin[38],Peng[88]).然而，g-期望的一個(gè)局限性是它僅用來處理所涉及的不確定的概率測度關(guān)于一個(gè)參考概率測度（如，Wiener測度）絕對(duì)連續(xù)的情形.但是對(duì)于金融中著名的波動(dòng)率不確定性問題，存在不可數(shù)個(gè)未知的概率測度，它們之間相互奇異.Avel

4、laneda等[3]和Lyons[73]研究了帶有波動(dòng)率不確定性的狀態(tài)依賴的期權(quán)定價(jià)問題，而路徑依賴的情形更有挑戰(zhàn)性，需要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)比經(jīng)典概率論更一般的框架.
　　 上述路徑依賴下的非線性期望由Peng在[88，90]中建立，并且給出兩種完全不同的方法來解決所涉及的動(dòng)態(tài)相容性問題.前一種方法采用路徑依賴下的更一般的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理;第二種方法使用Nisio形式的單調(diào)半群（參見Nisio[78，79]），稱其為非線性Markov鏈，通過

5、建立非線性形式的Kolmogorov相容性定理來構(gòu)造非線性期望空間，這在經(jīng)典概率論中同樣重要.
　　 在上述所提到的非線性期望中，一類非常典型的非線性期望-G-期望首先由Peng[92]于2006年提出.事實(shí)上，G-期望也是一種非常典型的次線性期望，它保留了除去線性性質(zhì)外線性期望所具有的其他良好性質(zhì).分布和獨(dú)立性的概念在整個(gè)理論中起到非常重要的作用.Peng的一項(xiàng)開創(chuàng)性工作是直接使用次線性期望E[·]來定義分布和獨(dú)立，而不是使用

6、容度這一看上去更加自然的概念來推廣它們的定義.基于這些新概念，Peng引入了一種非常重要的分布-G-正態(tài)分布，它可以由所謂的G-熱方程來刻畫.G-期望和G-Brown運(yùn)動(dòng)的概念可以視為Wiener測度和經(jīng)典的Brown運(yùn)動(dòng)的非線性推廣.這些概念和相應(yīng)的極限定理（大數(shù)定律和中心極限定理）以及關(guān)于G-Brown運(yùn)動(dòng)的It(o)隨機(jī)積分由Peng[92-102]引入并且做了系統(tǒng)研究.最近，很多作者基于Peng的開創(chuàng)性工作做了許多相應(yīng)的推廣.關(guān)

7、于大數(shù)定律，Chen[11]，Chen和Wu[14]，Chen等[15]研究了強(qiáng)大數(shù)定律，這些結(jié)果是對(duì)Peng[93，96]中“弱”大數(shù)定律的推廣.在Peng首先在[93]中證明了次線性期望空間中獨(dú)立同分布（簡記為i.i.d.）假設(shè)下的中心極限定理之后，許多作者在不假設(shè)同分布但是仍假設(shè)獨(dú)立的情形下推廣了這一結(jié)果，參見Li和Shi[66]，Hu和Zhang[51]，Hu[50]，Hu和Zhou[58]等.關(guān)于G-期望理論框架下的It(o)

8、隨機(jī)計(jì)算，特別的，關(guān)于It(o)公式，由Gao[39]和Zhang等[123]等做出相應(yīng)的推廣.關(guān)于次線性期望理論以及G-期望理論的進(jìn)一步工作可以參見Bai和Buckdahn[6]，Bai和Lin[7]，Chen和Hu[13]，Denis等[30]，Dolinsky等[33]，Epstein和Ji[35]，Gao[42]，Gao和Jiang[41，42]，Gao和Xu[43，44]，Hu[52，53]，Hu等[54，55]，Hu和Pen

9、g[56，57]，Lin[71],Lin[72],Nutz[80],Nutz和vanHandel[81],Nutz和Zhang[82],Peng等[103],Soner等[112],Song[113-116],Xu和Zhang[122]，等.
　　 本論文的出發(fā)點(diǎn)與Peng的開創(chuàng)性工作有一點(diǎn)不同.我們將次線性期望EP[·]視為一族概率測度集合P的上期望，其中P中的元素P為定義在可測空間（Ω，B（Ω））上的概率測度，這使得我們可以

10、方便的利用線性期望EP[·]的現(xiàn)有性質(zhì)來研究EP[·]的性質(zhì).并且我們從一個(gè)新的觀點(diǎn)來研究獨(dú)立的定義，即通過經(jīng)典的條件期望來定義獨(dú)立.這些新的構(gòu)想使得我們可以將Peng[92-100]中相應(yīng)的極限定理和It(o)隨機(jī)計(jì)算以及其他作者的工作推廣到我們的框架中來.本論文中的第1章至第3章將重點(diǎn)研究這些問題.第4章是本論文的亮點(diǎn).我們研究次線性期望和G-期望的性質(zhì)，包括嚴(yán)格比較定理，可加性，Wasserstein距離，對(duì)偶，控制和最優(yōu)轉(zhuǎn)移問題

11、，盡管這些性質(zhì)在經(jīng)典概率論中是眾所周知的，并且其中的一些性質(zhì)甚至是顯然的.這些結(jié)果是經(jīng)典結(jié)果的非平凡推廣，它們?cè)诘?章和第6章中多次用到.
　　 作為G-期望理論的應(yīng)用，我們?cè)诘?章中介紹了連續(xù)最大變差鞅(簡記為CMMV)的概念以及最大鞅變差問題.粗略地講，最大鞅變差問題是指，給定一個(gè)定義在△（Rd）上的實(shí)值泛函M和一個(gè)概率測度μ∈△（Rd），我們的目標(biāo)是在由所有長度為n的其終端值在Blackwell意義下受控于μ的取值于Rd的

12、鞅所組成的集合上最大化所謂的M-變差.這一問題推廣了Mertens和Zamir[77]中所引入的最大L1-變差問題.一維情形下的一般問題在DeMeyer[26]中所研究，隨后由Gensbittel[46]推廣到多維情形.我們基于第1章至第4章中的結(jié)果給出這一問題的一個(gè)新的簡潔的證明.兩篇文章[26]和[46]中僅研究中心化的情形，即，泛函M僅定義在零均值的概率測度集上，我們將其推廣到非中心化的情形，并且我們將在隨后一章研究帶有交易費(fèi)用的

13、博弈模型時(shí)發(fā)現(xiàn)這一推廣非常有用.在第6章，我們基于Aumman和Maschler[4]的模型研究一類更廣的單邊不完全信息下的重復(fù)博弈模型，這類模型首先由DeMeyer[25]以金融交易博弈的形式提出，隨后由Gensbittel[45，47]推廣到多維情形.這些博弈模型與第5章中所介紹的連續(xù)最大變差鞅的概念以及最大鞅變差問題有著緊密的聯(lián)系.我們系統(tǒng)地研究了兩個(gè)具體的博弈模型并且得到它們的Nash均衡顯式解.通過這些模型我們可以看出連續(xù)最大

14、變差鞅在股票市場中是一類非常穩(wěn)健的價(jià)格過程.我們指出第5章和第6章的內(nèi)容僅僅是從G-期望觀點(diǎn)來研究博弈論的一個(gè)初步嘗試，還有許多有趣的問題有待進(jìn)一步研究.
　　 論文共分為六章，以下是本文的結(jié)構(gòu)和得到的主要結(jié)論:
　　 (Ⅰ)第1章主要研究不確定性下的隨機(jī)游走和相應(yīng)的極限定理.
　　 我們將經(jīng)典的Bernoulli隨機(jī)游走和簡單隨機(jī)游走推廣到不確定性的情形.所謂的“不確定性”是指參考的概率測度不是唯一的，而是一族

15、概率測度組成的集合.設(shè)(Ω，B(Ω))為一個(gè)可測空間，P為定義在（Ω，B（Ω））上的概率測度組成的集合.給定隨機(jī)變量X，參照Peng[93]，X在P下的分布函數(shù)為Cb，Lip（R）到R上的泛函，其定義為EPX（(φ)）:=supP∈PEP[(φ)(X)]，其中Cb，Lip(R)為R上的有界Lipschitz函數(shù)空間.為了簡化記號(hào)，我們將supP∈PEp[·]記為Ep[·].Peng[93]中給出的在P下獨(dú)立的定義如下:
　　 定

16、義1.4設(shè){Xi]∞i=1為一列（Ω，B（Ω））上的隨機(jī)變量.如果對(duì)任一(φ)∈Cb,Lip（Rn），EP[(φ)（X1，…，Xn-1，Xn）]=EP[EP[(φ)（x1.…，xn-1，Xn）]|(x1，…，xn-1）=（X1，…，Xn-1）]，那么我們稱Xn在P下獨(dú)立于(X1，…，Xn-1).如果對(duì)每個(gè)n∈N，Xn在P下獨(dú)立于（X1,…，Xn-1），那么我們稱{Xi}∞i=1在P下獨(dú)立.
　　 我們通過經(jīng)典的條件期望給出一個(gè)獨(dú)

17、立的新定義:定義1.5設(shè){Xi}∞i=1為一列(Ω，B(Ω))上的隨機(jī)變量.給定(Ω,B(Ω))上的一族概率測度P，如果下列條件成立:
　　 (1)(∨)P∈P,(∨)(φ)∈Cb，Lip（R），Ep[(φ)(Xn)|X1，…，Xn-1]≤EP[(φ)（Xn）]，P-a.s.，
　　 (2)(∨)(φ)∈Cb，Lip（R），存在依賴于(φ)的P∈P，使得EP[(φ)(Xn)|X1，…,Xn-1]=EP[(φ)(Xn)]，

18、P-a.s.那么我們稱Xn在P下弱獨(dú)立于（X1，…，Xn-1）.如果對(duì)每個(gè)n∈N，Xn在P下弱獨(dú)立于（X1，…，Xn-1），那么我們稱{Xi}∞i=1在P下弱獨(dú)立.
　　 下面的定理給出了弱獨(dú)立和Peng的獨(dú)立定義之間的關(guān)系.定理1.7設(shè){Xi]∞i=1為一列在P下弱獨(dú)立的隨機(jī)變量序列.我們定義(P)如下(P)={P:(∨)(φ)∈Cb，Lip(R)，(∨)n∈N，EP[(φ)(Xn)|X1,…，Xn-1]≤EP[(φ)(Xn)

19、]，P-a.s.}.則[Xi}∞i=1在定義1.4的意義下在(P)下獨(dú)立，并且EP[(φ)(Xi)]=EP[(φ)(Xi)],(∨)i∈N，(∨)(φ)∈Cb,Lip(R).
　　 我們可以證明在獨(dú)立同分布假設(shè)下關(guān)于Bernoulli隨機(jī)游走的大數(shù)定律，并且我們將它推廣到不假設(shè)獨(dú)立同分布的情形.下面的定理是更一般的形式.定理1.9設(shè){Xk}∞k=1為可測空間(Ω，B(Ω))上的一列隨機(jī)變量，P為定義在（Ω，B（Ω））上所有滿足下

20、列條件的概率測度P組成的集合:(∨)n∈N，(μ)≤EP[Xn|X1，…，Xn-1]≤(μ)且Ep[|Xn|q|X1，…，Xn-1]≤KqP-a.s.,其中(μ)，(μ)，K，q為常數(shù)且q＞1.則我們有(i)對(duì)每一μ∈[(μ),(μ)]，存在Pμ∈P，使得Pμ（limn→∞Sn/n=μ）=1.（ii）對(duì)每一P∈P，P（(μ)≤limn→∞infSn/n≤limn→∞supSn/n≤(μ)）=1.(iii)對(duì)每一(φ)∈Cb，Lip(R)

21、，limn→∞FPSn/n（(φ)）=max(μ)≤μ≤(μ)(φ)（μ）.
　　 我們同樣考慮關(guān)于簡單隨機(jī)游走的中心極限定理.G-正態(tài)分布的概念在中心極限定理中起到關(guān)鍵作用.在本章中，G-正態(tài)分布通過G-熱方程的解來定義.定義1.10如果ξ的分布通過下式給出Fξ（(φ)）=u(φ)(0，1)，(∨)(φ)∈Cb，Lip(R)，其中u(φ)（t,x）為如下G-熱方程的解:(a)tu-G（(a)2xxu）=0u|t=0=(φ)其中

22、G(α)=1/2(σ)22α+-1/2(σ)2α-，0≤(σ)≤(σ).那么我們稱ξ為G-正態(tài)分布，記為ξ～N（0，[(σ)2，(σ)2]）.
　　 我們?cè)诖藘H列出兩個(gè)中心極限定理.事實(shí)上，它們?cè)谀撤N意義上是等價(jià)的.第二個(gè)多維情形下的中心極限定理會(huì)在第5章用到.我們將G-正態(tài)分布ξ的分布記為EG[(φ)(ξ)]:=F(ξ)(φ).定理1.14設(shè){Xi}∞i=1為可測空間(Ω，B(Ω))上的一列隨機(jī)變量.設(shè)P為定義在（Ω,B（Ω)

23、)上的所有滿足下列條件的概率測度組成的集合:(∨)P∈P，(∨)i∈N，(1)EP[Xi|X1，…，Xi-1]=0,(2)(σ)2≤EP[X2i|X1，…，Xi-1]≤(σ)2，(3)Ep[|Xi|q|X1，…，Xi-1]≤Kq.我們記Sn=∑ni=1Xi.
　　 若q＞2且0＜(σ)≤(σ)≤K＜∞，則(∨)(φ)∈Cb，Lip（R），limn→∞FPSn/√n（(φ)）=EG[(φ)(ζ）]，其中ξ～N（0，(σ)2，(σ)

24、2]）.
　　 設(shè)Mqn(∑，K)為概率空間（Ω，B（Ω)，P）上所有滿足下列條件的長度為n的取值于Rd的鞅組成的集合:(i)EP[Sn]=0，(ii)EP[(Sk+1-Sk)（Sk+1-Sk）T|S1，…，Sk]∈∑，0≤k≤n-1，其中∑為S+(d)中的有界凸閉子集.(iii)EP[||Sk+1-Sk||q]≤K,0≤k≤n-1.
　　 設(shè)Vn[(φ)]:=sups∈Mqn(∑，K)EP[(φ)（Sn/√n）].定理

25、1.17我們假設(shè)q＞2.設(shè)ξ為G-期望EG[·]下的G-正態(tài)分布N(0，∑)，則(∨)(φ)∈C(Rd)且滿足增長條件|(φ)(x)|≤C(1+|x|p)，其中1≤p＜q，我們有l(wèi)imn→∞Vn[(φ)]=EG[(φ)(ξ)].
　　 在第1章的最后一節(jié)，我們給出G-Brown運(yùn)動(dòng)通過簡單隨機(jī)游走的逼近定理.設(shè){Sn}∞n=1為一個(gè)離散時(shí)間過程，則S的連續(xù)時(shí)間化過程定義為St=Sn+(t-n)(Sn+1-Sn)，n≤t＜n十1.

26、
　　 定理1.19設(shè){Sn}∞n=1為P下帶有方差不確定性的簡單隨機(jī)游走.我們定義W(n）t:=Stn/√n.則W(n)t弱收斂于G-Brown運(yùn)動(dòng)，即，對(duì)每一個(gè)k∈N和0≤t1＜t2＜…＜tk，我們有l(wèi)imn→∞EP[(φ)（W(n)t1，…，W(n)tk）]=EG[(φ)(Bt1，…，Btk)]，(∨)(φ)∈Cb，Lip（Rk），其中(Bt)t≥0為G-Brown運(yùn)動(dòng)，滿足EG[B21]=EP[S21]且EG[-B21]

27、=EP[-S21].(Ⅱ)第2章研究次線性空間中的極限定理.
　　 設(shè)P為可測空間(Ω，B(Ω))上的概率測度組成的集合.次線性期望EP[·]，上概率V(·)和下概率v(·)分別定義為EP[·]=supP∈PEP[·];V(·)=supP∈PP(·);v(·)=infP∈PP(·).
　　 我們給出乘積獨(dú)立和加和獨(dú)立的定義，這些定義比Peng[93]中給出的獨(dú)立的定義要弱.
　　 定義2.14設(shè)X1，X2,…，X

28、n為（Ω，B（Ω)）上的一列可測隨機(jī)變量.
　　 (i)如果對(duì)于每一個(gè)非負(fù)有界的Lipschitz函數(shù)(φ)k，k=1，…，n，EP[n∏k=1(φ)k（Xk）]=n∏k=1EP[(φ)k(Xk)]，那么我們稱Xn乘積獨(dú)立于(X1，…，Xn-1).
　　 (ii)如果對(duì)于每一個(gè)(φ)∈Cb，Lip(R)，EP[(φ)（n∑k=1Xk）]=EP[EP[(φ)（x+Xn）]|x=Σn-1k=1Xk]，那么我們稱Xn加和獨(dú)立于

29、(X1，…，Xn-1).
　　 下面給出的大數(shù)定律是Peng[93，96，98]，Chen[11]，Chen和Wu[14]，以及Chen等[15]中的大數(shù)定律的推廣.
　　 定理2.17設(shè){Xk}∞k=1為一列隨機(jī)變量滿足:對(duì)某一q＞1，supk≥1EP[|Xk|q]＜∞，且EP[Xk]≡(μ)，-EP[-Xk]≡(μ),k=1，2，….設(shè)Sn=∑nk=1Xk.
　　 (i)如果{Xk}∞k=1乘積獨(dú)立，那么v(

30、μ≤limn→∞infSn/n≤limn→∞supSn/n≤(μ)=1.
　　 (ii)如果[Xk}∞k=1乘積獨(dú)立且加和獨(dú)立，那么limn→∞EP[(φ)（Sn/n）]=max(μ)≤μ≤(μ)(φ)(μ).
　　 (iii)如果{Xk}∞k=1加和獨(dú)立且V(·)上連續(xù)，即，當(dāng)An↓A時(shí)，V(An)↓V(A)，其中,An，A∈B(Ω）,那么(∨)μ∈[(μ)，(μ)]，V（limn→∞Sn/n=μ）=1.
　　

31、 關(guān)于次線性期望空間上的中心極限定理，Peng[93]首先證明了獨(dú)立同分布的情形，隨后由Li和Shi[66]，Hu和Zhang[51]，Hu[50]，Hu和Zhou[58]推廣到不假設(shè)同分布的情形.然而，所有的這些定理均要求隨機(jī)變量的獨(dú)立性.我們考慮一個(gè)比獨(dú)立稍弱的條件，稱之為m-相依，并且證明了相應(yīng)的中心極限定理.這一結(jié)果己被ActaMathematicaeApplicataeSinica，EnglishSeries所接受.
　

32、　 定義2.31如果存在一個(gè)整數(shù)m使得對(duì)每一個(gè)n和每一個(gè)j≥m+1，（Xn+m+1，…，Xn+j）均獨(dú)立于(X1，…，Xn)，那么我們稱序列｛Xi}∞i=1為m-相依.特別的，如果m=0，那么稱{Xi}∞i=1為獨(dú)立序列.
　　 定理2.32設(shè){Xi}∞i=1為一列m-相依序列，滿足EP[Xi]=EP[-Xi]=0，limp，q→∞EP[(Xp+1+…+Xp+q]=(σ)2，limp,q→∞-EP[-（Xp+1+…+Xp+q）

33、/q]=(σ)2，且對(duì)i=1，2，…，EP[|Xi|2+α]≤M，其中α＞0且M為常數(shù).
　　 設(shè)Sn=∑ni=1Xi，則我們有l(wèi)imn→∞EP[(φ)（Sn/√n）]=EG[(φ)（ξ）]，(∨)(φ)∈Cb，Lip(R)，其中ξ～N（0;(σ)2，σ2]）.(Ⅲ)第3章主要研究不假設(shè)擬連續(xù)條件的It(o)隨機(jī)計(jì)算，并且得到一般形式的It(o)公式以及具有局部Lipschitz系數(shù)的隨機(jī)微分方程的解的存在唯一性.
　　

34、 現(xiàn)有的關(guān)于G-Brown運(yùn)動(dòng)的It(o)隨機(jī)分析均建立在隨機(jī)過程空間MPG（0，T）(p≥1）上（參見，Peng[92，95，97，98，100]以及Gao[39]和Zhang等[123]），其中空間MPG(0，T)由滿足擬連續(xù)條件的隨機(jī)變量所生成.然而停時(shí)這一在經(jīng)典隨機(jī)分析中非常重要的概念并不滿足擬連續(xù)性，從而我們很難在空間MPG（0,T）中處理停時(shí)問題.這也導(dǎo)致現(xiàn)有的It(o)公式均對(duì)C2-函數(shù)要求一定的增長條件.為了克服上述困難

35、，我們?cè)诒菊轮幸胍粋€(gè)更大的隨機(jī)過程空間MP*（0，T).它是由未必滿足擬連續(xù)條件的隨機(jī)變量所生成.隨后我們?cè)谶@個(gè)更大的空間MP*（0，T）上定義It(o)隨機(jī)積分，并且我們考慮了定義在停時(shí)區(qū)間上的It(o)隨機(jī)積分.這使得我們可以在“局部可積”空間M2ω（0，T）上定義It(o)隨機(jī)積分.這一新的理論框架使得我們可以得到關(guān)于C1,2-函數(shù)的更一般的It(o)公式，這一結(jié)果在本質(zhì)上推廣了Peng[92，95，97，98，100]以及Ga

36、o[39]和Zhang等[123]中的結(jié)果.該結(jié)果與導(dǎo)師彭實(shí)戈教授合作發(fā)表于StochasticProcessandTheirApplications121(7)1492-1508.
　　 定理3.41設(shè)Φ∈C1，2([0,T]×R)且Xvt=Xv0+t∫0αvsds+t∫0ηvijsd〈Bi,Bj〉s+t∫0βvjsdBjs,其中αv，ηvij∈M1ω(0，T)，βvj∈M2ω（0，T）.
　　 則對(duì)任一t∈[0，T]

37、，我們有，Φ(t,Xt)-Φ(0，X0)=t∫0(a)xvΦ(u,Xu)βvjudBju+t∫0[(a)tΦ（u，Xk）+(a)xvΦ(u,Xu)αvu]du+t∫0[(a)xvΦ(u，Xu)ηviju+1/2(a)2xμxvΦ(u，Xu)βμiuβvju]d〈Bi，Bj〉u.
　　 在本章的最后一節(jié)，我們考慮如下由d維G-Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程:Xt=Xo+t∫0b(s，Xs)ds+t∫0hij(s，Xs)d〈Bi，

38、Bj〉s+t∫0σj(s,Xs)dBjs，t∈[0，T]，(1)其中b(·，·)，hij(·，·)，σj(·，·):[0,T]×R→R為連續(xù)函數(shù)，X0為常數(shù).
　　 我們引入如下條件:
　　 (H1)有界性條件:對(duì)任一s∈[0，T]supx∈Rmax{|b(s,x)|,|hij(s,x)|,|σj(s,x)|}≤K.
　　 (H2)Lipschitz條件:對(duì)任何x，y∈R和s∈[0，T]，max{|b(s,x)-

39、b(s,y)|,|hij(s,x)-hij(s,y)|,|σj(s,x)-σj(s,y)|}≤K|x-y|.
　　 (H3)局部Lipschitz條件:對(duì)所有滿足|x|，|y|≤R的x，y∈R以及s∈[0，T]，max{|b(s，x)-b（s，y）|，|hij(s，x)-hij(s，y)|，|σj(s，x)-σj（s，y）|}≤KR|x-y|.
　　 (H4)增長性條件:對(duì)任一x∈R和s∈[0，T]，xb(s，x)≤K(

40、1+x2)，xhij(s，x)≤K(1+x2)，|σj(s，x)|2≤K(1+x2).
　　 第一個(gè)定理給出在空間M2*（0，T）上的解的存在唯一性.第二個(gè)定理研究具有局部Lipschitz系數(shù)的隨機(jī)微分方程的可解性.定理3.44假設(shè)條件(H1)和(H2)成立.則存在唯一的過程X∈M2*(0，T)滿足(1）.定理3.45假設(shè)條件(H3)和(H4)成立.則隨機(jī)微分方程(1)存在唯一的連續(xù)適應(yīng)解X.
　　 (Ⅳ)第4章研究次

41、線性期望和G-期望的性質(zhì)，包括嚴(yán)格比較定理，可加性，G-期望與Choquet期望之間的聯(lián)系，Wasserstein距離，對(duì)偶，控制以及最優(yōu)轉(zhuǎn)移問題.
　　 本章分為五節(jié)來研究上述性質(zhì).在第4.1節(jié)，我們研究嚴(yán)格比較定理.我們?cè)诖藘H列出本節(jié)中兩個(gè)重要的定理.
　　 定理4.4設(shè)X，Y∈L1c(Ω)且X≤Yq.s.如果infP∈PP(X＜Y)＞0，或等價(jià)的,V(X=Y)＜1，那么EP[X]＜EP[Y].
　　 定理4

42、.9設(shè)σ＞0且X，Y∈Lip（Ω）具有如下形式X=(φ)（Bt1，Bt2-Bt1，…，Btn-Btn-1）和Y=ψ（Bt1，Bt2-Bt1，…，Btn-Btn-1），其中(φ)(x)≤ψ(x)，(∨)x∈Rn.則EG[X]＜EG[Y]當(dāng)且僅當(dāng)存在x0∈Rn使得(φ)(x0)＜ψ(x0).
　　 在第4.2節(jié)，我們研究G-期望的可加性.設(shè)ξ為G-正態(tài)分布N(0，[(σ)2，(σ)2])，其中0＜(σ)＜(σ).如下的兩個(gè)定理是本節(jié)

43、中的主要定理.
　　 定理4.13我們假設(shè)(φ)，ψ∈Cb，Lip(R).則EG[(φ)(ξ)+ψ(ξ)]=EG[(φ)(ξ)]+EG[ψ(ξ)]當(dāng)且僅當(dāng)(a)xxu(t,x)(a)xxv(t，x)≥0，(∨)（t,x）∈(0，1)×R.
　　 定理4.16如果存在x0和θ＞0使得(φ)，ψ∈C2((x0-θ，x0+θ)）且(φ)"(x0)ψ"(x0)＜0，那么我們有EG[(φ)(ξ)+ψ(ξ)）]＜EG[(φ)(ξ)]

44、+EG[(φ)(ξ)].
　　 在第4.3節(jié)，我們比較了G-期望和Choquet期望并且給出了一些有趣的例子.我們證明了G-期望被相應(yīng)的Choquet期望所控制.下面的定理是本節(jié)中的主要定理.
　　 定理4.26G-期望EG[·]可以表示成Choquet期望EC[·](即，(∨)X∈L1G(Ω），EG[X]=Ec[X])當(dāng)且僅當(dāng)EG[·]為線性(即，(σ)=(σ)).
　　 在第4.4節(jié)，我們將經(jīng)典的Wasser

45、stein距離及其相應(yīng)的性質(zhì)推廣到次線性空間.
　　 設(shè)P1和P2為兩個(gè)非空凸的弱緊的概率測度集合.我們定義P1和P2之間的Hausdorff-Wasserstein距離如下:wp(P1,P2)=max(maxP1∈P2minP2∈P2Wp(P1，P2),maxP2∈P2minP1∈P1Wp(P1,P2)),其中Wp（P1，P2）是經(jīng)典的P1和P2之間的Wasserstein距離.
　　 我們首先給出次線性形式的Kant

46、orovich-Rubinstein對(duì)偶公式.定理4.30w1(P1，P2)=sup||(φ)||Lip≤1{[EP1[(φ)]-EP2[(φ)]|｝.||(φ)||Lip≤1表示Lipschitz函數(shù)(φ)的Lipschitz系數(shù)小于等于1.
　　 眾所周知，概率測度的弱收斂等價(jià)于Wasserstein距離下收斂，我們給出這一性質(zhì)在次線性期望框架下的非平凡推廣.
　　 定義4.31設(shè){EPn]∞n=1為一列次線性期望.

47、如果對(duì)每一(φ)∈Cb,Lip(Ω)，limn→∞EPn[(φ)]=EP[(φ)]，那么我們稱{EPn}∞n=1弱收斂于EP，或等價(jià)的，稱{Pn}∞n=1弱收斂于P.
　　 定理4.35設(shè){Pn}∞n=1為一列凸的弱緊的概率測度集合滿足下列條件:存在α＞0使得supnEPn[|X|1+α]＜∞.
　　 設(shè)P為一凸的弱緊的概率測度集合.則下面的兩個(gè)論述等價(jià):
　　 (i)Pn弱收斂于P.
　　 (ii)W1

48、(Pn，P)→0.
　　 在第4.5節(jié)，我們介紹了經(jīng)典情形以及次線性情形下的對(duì)偶和控制的概念以及最優(yōu)轉(zhuǎn)移問題.首先介紹的Fenchel對(duì)偶及其性質(zhì)在第6章中研究對(duì)偶博弈時(shí)會(huì)再次用到.
　　 隨后我們介紹了經(jīng)典的Blackwell控制的概念，并且得到一個(gè)關(guān)于次線性期望的控制定理.
　　 定理4.47如果P1和P2為（Ω,BΩ））上的兩個(gè)凸的弱緊的概率測度集合.那么下面的敘述等價(jià):
　　 (i)EP1[·]被

49、EP2[·]所控制.
　　 (ii)P1(∩)P2.
　　 最后，我們研究次線性空間上的Kantorovich最優(yōu)轉(zhuǎn)移問題.設(shè)Ω1和Ω2為兩個(gè)完備可分的距離空間，∏(μ，v)為定義在(Ω1(×)Ω2，B(Ω1(×)Ω2))上的所有滿足其邊際分布在Ω1和Ω2上分別為μ和v的概率測度組成的集合.設(shè)P1和P2為分別定義在(Ω1，B(Ω1))和(Ω2，B(Ω2))上的弱緊的凸的概率測度集合.記∏(P1，P2)=Uμ∈p1，v∈P

50、2∏(μ，v).對(duì)Ω1(×)Ω2上的連續(xù)函數(shù)c，Φc為所有滿足下列條件的連續(xù)函數(shù)對(duì)((φ)，ψ)組成的集合:(φ)(ω1)+ψ(ω2)≥c(ω1,ω2),(∨)ω1∈Ω1,ω2∈Ω2.我們得到如下形式的對(duì)偶公式:定理4.49設(shè)c:Ω1(×)Ω2→R為連續(xù)函數(shù)，則我們有supπ∈∏(P1，P2)Eπ[c]=(inf((φ)，ψ)∈Φc{EP1[(φ)]+EP2[ψ]}.
　　 我們同時(shí)考慮如下的最大協(xié)方差問題:給定一個(gè)概率測度μ和

51、一個(gè)概率測度集合P.最大協(xié)方差函數(shù)C（μ，P）定義為C(μ,P):=supv∈PC(μ,v)=sup[X]=μ，[Y]∈PE[〈X,Y〉].下面的定理在第5章中會(huì)用到.定理4.52設(shè){Pn]和P為凸的弱緊的概率測度集合，μ為任一概率測度.如果W2(Pn，P)→0，那么我們有C(μ，Pn)→C(μ，P).(Ⅴ)第5章主要研究連續(xù)最大變差鞅和最大鞅變差問題.
　　 我們首先介紹DeMeyer[26]中所提出的連續(xù)最大變差鞅的概念，然

52、后我們將其推廣到G-期望框架.本章的主要目的是解決如下的最大鞅變差問題.
　　 設(shè)Mn(μ)為（F，X）組成的集合，其中F:=（Fq）q=1，…，n為概率空間（Ω，B（Ω)，P）上的信息族，X=(Xq)q=1，…，n為F鞅，其終端分布Xn在Blackwell意義下受控于μ.給定泛函M:△2（Rd）→R，我們可以定義M-變差VMn（F，X）如下VMn（F，X）:=E[n-1∑q=0M[Xq+1|Fq]].則最大M變差VM（μ）定義

53、為VM(μ):=sup{VMn(F，X):(F,X)∈Mn(μ)}.
　　 對(duì)于一維的情形，我們得到如下的定理:定理5.11如果M滿足:(i)正齊性:(∨)X∈L20(R)，(∨)α＞0:M[αX]=αM[X].(ii)Lipschitz連續(xù)性:存在P∈[1，2）和K∈R使得對(duì)所有的X，Y∈L20（R）:|M[X]-M[Y]|≤K||X-Y||Lp.(iii)常數(shù)平移不變性:M[X+β]=M[X]+M[β]，(∨)β∈R.那么對(duì)

54、所有的μ∈△2(R)，我們有(1)limn→∞VMn(μ)/n=M[E（μ）].(2)limn→∞VMn(μ)-nM[E(μ)]/√n=ρE[fμ(Z)Z]，其中Z～N(0，1)且ρ:=sup{M(v):v∈△20(R)，||V||L2≤1}.(3)如果ρ＞0并且對(duì)所有的n，(Fn，Xn)∈Mn（μ）滿足VMn(Fn，Xn)=VMn(μ)，那么Xn的連續(xù)時(shí)間表示∏nt:=Xn「nt」依有限維分布收斂到連續(xù)最大變差鞅∏μ.
　　

55、對(duì)于多維情形，我們首先引入輔助函數(shù)r定義如下r(P):=supv∈△20(Rd).cov(v)=PM(v)，其中cov（μ）為μ∈△20(Rd)的協(xié)方差矩陣.集合Γ的定義可以參見定義5.12.
　　 我們假設(shè)M:△2（Rd）→R滿足如下假設(shè):(H1)M≥0并且非退化:(∨)x∈Rd，存在μ∈△20（Rd）使得μ(Rx)=1，且M(μ)≥0.
　　 (H2)M在p階Wasserstein距離下K-Lipschitz連續(xù)，其

56、中p∈[1，2）.
　　 (H3)M滿足正齊性:(∨)X∈L2(Rd),λ＞0，M[λX]=λM[X].
　　 (H4)M在△20(Rd)上為凸泛函.
　　 (H5)r為擬凸函數(shù)，即，(∨)α∈R，[Y∈L2（RD）|r(cov(Y))≤α}在L2(Rd)中為凸集.
　　 (H6)M[X+β]=M[X]+M[β]，(∨)β∈Rd.我們有下面的定理:定理5.14在假設(shè)(H1)-(H6)下，我們有(i)lim

57、n→∞VMn(μ)/n=M[E(μ)].(ii)limn→∞VMn(μ)-nM[E(μ)]/√n=max[L]=μ，[x]∈PξE[〈L，X〉]，其中ξ～N(0，Γ)為G-正態(tài)分布.(Ⅵ)第6章主要研究一類廣義的Aumann和Maschler[4]中所介紹的重復(fù)博弈模型.
　　 這類模型首先在DeMeyer[25]中作為金融交易模型引入，隨后由Gensbittel[45，47]推廣到多維情形.與Aumann-Maschler的模

58、型所不同的是我們?cè)试S狀態(tài)集和策略集為不可數(shù)集.本章包含四節(jié).
　　 在第6.1節(jié)，我們研究[45]中所提出的線性博弈模型并且將[45]中的Cav(u)定理從△(P)推廣到△1（Rd），其中P為Rd中的凸緊子集.設(shè)(V)n(μ)和(V)n(μ)分別為單邊信息不對(duì)稱重復(fù)博弈模型Γn（μ）（參見第6.1節(jié)）中參與者1的最大支付和參與者2的最小支付，(u)（μ）和(u)(μ)分別為完全信息下的博弈模型中相應(yīng)的支付.我們有如下的Cav(u

59、)定理:定理6.5對(duì)所有的μ∈△1（Rd），我們有l(wèi)imn→∞1/n(V)n(μ)=Cav(u）(μ)，limn→∞1/n(V)n(μ)=Cav((u))（μ）.
　　 如果我們進(jìn)一步假設(shè)，(∨)μ∈△∞（Rd），博弈Γ1(μ)存在值，即，V1(μ)=(V)1μ=(V)1(μ)，那么我們有如下更精確的Cav(u)定理:定理6.9如果V1滿足如下假設(shè):(i)存在μo∈△2（Rd）使得V1(μ0)＞0.(ii)V1（[L+β]）=V

60、1（[L]）+V1（[β]），(∨)β∈Rd.(iii)對(duì)任一α∈R，{X∈L2(Rd):supv∈△20(Rd):cov(v)=cov(X)V1(v)≤α}在L2(Rd)中為凸集.
　　 那么我們有，對(duì)所有的μ∈△2(Rd)，limn→∞1/√n(Vn(μ)-nCav(u)(μ))=sup[L]=μ，[X]∈PξE[〈L,X〉]，其中ξ～N(0，Γ)，Γ在第5章第5.3節(jié)中給出，我們需要用V1代替那里的M.
　　 在第

61、6.2節(jié)，我們研究一類特殊的線性博弈模型，稱為金融交易模型.這一模型由DeMeyer[25]提出.我們推廣了[25]中的自然交易機(jī)制.
　　 在博弈Γn(μ)中（參見第6.2節(jié)），自然交易機(jī)制的假設(shè)如下:
　　 (H1)博弈值的存在性:(∨)（μ）∈△∞(R)，博弈Γ1（μ）存在值.
　　 (H2)交易的有界性:(∨)i,j:|Aij|≤K，其中K為常數(shù).
　　 (H3)正齊性:(∨)α＞0，(∨)L∈L

62、2（R）:V1（αL）=αV1（[L]）.
　　 (H4)關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中的無風(fēng)險(xiǎn)部分的平移不變性:(∨)β∈R:V1（[L+β]）=V1([L])+V1（[β]）.
　　 (H5)信息具有正價(jià)值:(3)L∈L2(R):V1（[L]）＞0.
　　 基于第5章的結(jié)果，我們給出下面的值函數(shù)以及價(jià)格過程的逼近定理.定理6.15如果(H1)-(H5)成立，那么對(duì)所有的μ∈△2(R)，(i)limn→∞1/nVn(μ)=V1

63、([E(μ)]).(ii)limn→∞1/√n（Vn（μ）-nV1（[E（μ）]））=ρE[f(μ)(Z)Z]，其中Z～N(0,1)，fμ(Z)～μ且p=sup{V1(v):v∈△20(R),||v||L2≤1}.(iii)如果ρ＞0且對(duì)所有的n，(Fn，Xn)∈Mn(μ)滿足VV1n（Fn，Xn）=Vn（μ），那么Xn的連續(xù)時(shí)間表示∏nt:=Xn[nt」依有限維分布收斂于∏μ.
　　 在第6.3節(jié)中，我們系統(tǒng)的研究了一個(gè)帶有交

64、易費(fèi)用的博弈模型，它并不滿足[25]中的自然交易機(jī)制但是滿足我們?cè)诘?.2節(jié)中推廣的自然交易機(jī)制.我們通過對(duì)偶方法得到這一模型的Nash均衡顯式解.并且我們證明了由非內(nèi)幕參與者所提出的價(jià)格過程在有限維分布下收斂到連續(xù)最大變差鞅.這一結(jié)果更好的表明連續(xù)最大變差鞅在股票市場中是一類非常穩(wěn)健的價(jià)格過程.
　　 在第6.4節(jié)，我們研究了一個(gè)博弈模型其中博弈雙方均不是風(fēng)險(xiǎn)中性，這推廣了DeMeyer[26]中的結(jié)果，原結(jié)果中非內(nèi)幕參與者是