高數(shù)曲線積分復(fù)習(xí)

1、1由xyx222??的四分之一圓弧OB及折線BAO組成順時(shí)針閉曲線L，計(jì)算(1)?Lxyds.(2)??Lydxxdy3分析分析閉曲線L由三部分組成，因此應(yīng)分三部分作積分，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分(1)與曲線方向無(wú)關(guān)，而積分(2)要注意曲線方向是順時(shí)針?lè)较虻膶?duì)于BA，因?yàn)閤=1以y為參數(shù)所以BA段的曲線積分只能化為對(duì)y的定積分，同理AO段，只能化為對(duì)x的定積分解先計(jì)算積分(1)，寫(xiě)出各段曲線方程，對(duì)應(yīng)各段曲線方程，求出dsAOB(用參數(shù)方程較好

2、)：txcos1??tysin?dtdtttds????22cos)sin((????t2).BA：x=1(以y為自變量)(10??y)dydyds???01，AO：y=0(以x為自變量)(10??x)dxds?，于是A11002(1cos)sin1LBAAOOBxydsxydsttdtydyx??????????????????Adx0?=??22sin21cos????????tt121?.再計(jì)算積分(2)，寫(xiě)出各段曲線方程，直接化

3、為定積分計(jì)算如下：弧段OB:tytxsincos1???t由?變到2?，tdtdytdtdxcossin???.BA：x=1，自變量y由y=1變到y(tǒng)=0dydx??0dydy?.AO:y=0自變量x由x=1變到x=0dxdx?dxdy??0.于是A33LBAAOOBxdyydxxdyydx?????????A=????????????????012031sinsin3coscos1dyydydttttt????????012030?dx

4、dxx.積分(2)若用格林公式將更為簡(jiǎn)便因?yàn)?31?????????yPxQ，再注意曲線的方向是順時(shí)針?lè)较?，?duì)于它所圍成的區(qū)域D而言，是反向的，因此格林公式中二重積分前應(yīng)取負(fù)號(hào)，于是0AB????????????????DLDdxdydxdyypxQydxxdy)2()(3=2242???????Ddxdy.注利用格林公式計(jì)算曲線積分常常是簡(jiǎn)便的，但是在應(yīng)用格林公式時(shí)應(yīng)注意，圍成閉區(qū)域D的曲線L的方向?qū)而言必須是正向的，否則在公式左端

5、應(yīng)取負(fù)號(hào)，如上題中的積分??Lydxxdy3，2證明dyxyxdxxyxy)cos()sin(22???在整個(gè)xoy面上是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，并求出這樣一個(gè)二元函數(shù))(yxu.解xQxxyyP???????sin2在xoy全平面上恒成立，所以dyxyxdxxyxy)cos()sin(22???是某個(gè)二元函數(shù))(yxu的全微分，且?????)()00(22)cos()sin()(yxdyxyxdxxyxyyxu.?????yxdyxyx

6、dxyxu0200)cos()(xyyxcos??2221三、總結(jié)三、總結(jié)1曲線積分的計(jì)算方法是化為定積分計(jì)算，化為定積分計(jì)算的關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)方程，并注意積分限的確定，這也是兩類曲線積分計(jì)算方法的重要區(qū)別.2對(duì)于坐標(biāo)的曲線積分QdyPdxL??應(yīng)首先考察積分是否與路徑無(wú)關(guān)，即考察yPxQ?????是否恒成立.(1)當(dāng)在單連通區(qū)域內(nèi)恒成立時(shí)若L為閉曲線，則由等價(jià)命題可知0???LQdyPdx若L為非閉曲線，則積分與路徑無(wú)關(guān)，可選取較