格林公式曲線積分

1、§3 格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性,在計算定積分時, 牛頓-萊布尼茨公式反映了區(qū)間上的定積分與其端點上的原函數(shù)值之間的聯(lián)系; 本節(jié)中的格林公式則反映了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系.,一、格林公式,二、曲線積分與路線的無關(guān)性,返回,一、格林公式,設(shè)區(qū)域 D 的邊界 L 是由,一條或幾條光滑曲線所,組成.邊界曲線的正方向,規(guī)定為:當(dāng)人沿邊界行走,時,區(qū)域 D 總在它的左邊,,如圖 2

2、1-12 所示. 與上述規(guī)定的方向相反的方向稱,為負方向,記為,有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有,(1),這里 L 為區(qū)域 D 的邊界曲線, 并取正方向.,公式(1)稱為格林公式.,證 根據(jù)區(qū)域 D 的不同形狀, 這里對以下三種情形,(i) 若 D 既是 x 型又是 y 型區(qū)域(圖21-13), 則可表為,作出證明:,又可表為,同理又可證得,將上述兩個結(jié)果相加即得,(ii) 若區(qū)域 D 是由一條,按段光滑的閉曲線圍成,,且可用幾段光滑曲線將,

3、D 分成有限個既是 x 型,又是 y 型的子區(qū)域 (如圖21-14), 則可逐塊按 (i) 得到,它們的格林公式, 然后相加即可.,如圖21-14 所示的區(qū)域 D, 可將它分成三個既是 x,(iii) 若區(qū)域 D 由幾條閉曲線,所圍成, 如圖21-15 所示. 這,把區(qū)域化為 (ii) 的情形來處,時可適當(dāng)添加線段,理. 在圖21-15中添加了,后, D 的邊界則由,注1 并非任何單連通區(qū)域都可分解為有限多個既是,及 構(gòu)成.

4、 由(ii)知,所圍成的區(qū)域便是如此.,注2 為便于記憶, 格林公式 (1) 也可寫成下述形式:,注3 應(yīng)用格林公式可以簡化某些曲線積分的計算.,請看以下二例:,第一象限部分 (圖21-16).,解 對半徑為 r 的四分之一圓域,D, 應(yīng)用格林公式:,點的閉區(qū)域的邊界線.,解 因為,它們在上述區(qū)域 D 上連續(xù)且相等, 于是,所以由格林公式立即可得,面區(qū)域 D 的面積 SD 的公式:,(2),形的面積 (圖21-17).,二、曲線積分

5、與路線的無關(guān)性,在第二十章§2 中計算第二型曲線積分的開始兩,個例子中, 讀者可能已經(jīng)看到, 在例1中, 以 A 為起點,B 為終點的曲線積分, 若所沿的路線不同, 則其積分,值也不同, 但在例2 中的曲線積分值只與起點和終,點有關(guān), 與路線的選取無關(guān). 本段將討論曲線積分在,什么條件下, 它的值與所沿路線的選取無關(guān).,首先介紹單連通區(qū)域的概念.,若對于平面區(qū)域 D 內(nèi)任一封閉曲線, 皆可不經(jīng)過 D,以外的點而連續(xù)收縮于屬于

6、D 的某一點, 則稱此平,面區(qū)域為單連通區(qū)域; 否則稱為復(fù)連通區(qū)域.,是復(fù)連通區(qū)域. 單連通區(qū)域也可以這樣敘述: D 內(nèi)任,一封閉曲線所圍成的區(qū)域只含有 D 中的點. 更通,俗地說, 單連通區(qū)域就是沒有“洞”的區(qū)域, 復(fù)連通區(qū),域則是有“洞”的區(qū)域.,定理21.12 設(shè) D 是單連通閉區(qū)域. 若函數(shù),在 D 內(nèi)連續(xù), 且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則以,下四個條件兩兩等價:,(i) 沿 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線 L, 有,(ii) 對

7、 D 中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分,與路線無關(guān), 只與 L 的起點及終點有關(guān);,即在 D 內(nèi)有,(iv) 在 D 內(nèi)處處成立,A, B 的任意兩條按段光滑曲線, 由 (i) 可推得,所以,D 內(nèi)任意一點. 由 (ii), 曲線積分,對于 x 的偏增量(圖21-20),因為在 D 內(nèi)曲線積分與路線無關(guān), 所以,值定理可得,一點處都有,條件, 就得到,以及 P, Q 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 便可知道在 D 內(nèi)每,上面我們將四個條件循

8、環(huán)推導(dǎo)了一遍, 這就證明了,它們是相互等價的.,應(yīng)用定理21.12 中的條件(iv)考察第二十章§2 中的,例1 與例2. 在例1中,所以積分與路線無關(guān).,到點 D(0,1) 的路徑(見圖21-21).,分析 如果第二型曲線積分在某單連通區(qū)域內(nèi)滿足,與路徑無關(guān)的條件,則可改變積分路徑,使易于計算.,解 記,易知除去點 E(0.5, 0) 外, 處處滿足,一不含奇點 E 的單連通區(qū)域內(nèi), 所以有,注1 定理 21.12 中對

9、“單連通區(qū)域”的要求是重要,何不包含原點的單連通區(qū)域, 已證得在這個區(qū)域內(nèi),的任何封閉曲線 L 上, 皆有,(3),的.如本例若取沿 y 軸由點 A 到點 D 的路徑 , 雖,然算起來很簡單,但卻不可用.因為任何包含,的單連通區(qū)域必定含有奇點 E . 又如本節(jié)例 2,對任,只在剔除原點外的任何區(qū)域 D 上有定義, 所以 L 必,含在某個復(fù)連通區(qū)域內(nèi). 這時它不滿足定理 21.12,的條件, 因而就不能保證(3)式成立. 事實上

10、, 若取 L,為繞原點一周的圓,則有,倘若 L 為繞原點一周的封閉曲線, 則函數(shù),由上述證明可看到二元函數(shù),具有性質(zhì),例5 試應(yīng)用曲線積分求,的原函數(shù).,解 這里,在整個平面上成立,由定理21.12, 曲線積分,注 由例4 可見, 若,線段 于是有,只與起點 A 和終點 B 有關(guān), 而與路線的選擇無關(guān).,則求全微分的原函數(shù)可用公式,或,下例介紹用“湊微分”法求全微分的原函數(shù).,例6 求全微分,的原函數(shù),解 由于,可見