曲線積分2

1、10?2對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功?設(shè)一個質(zhì)點在xOy面內(nèi)在變力F(x?y)?P(x?y)i?Q(x?y)j的作用下從點A沿光滑曲線弧L移動到點B?試求變力F(x?y)所作的功?用曲線L上的點A?A0?A1?A2?????An?1?An?B把L分成n個小弧段?設(shè)Ak?(xk?yk)?有向線段的長度為?sk?它與x軸的夾角為?k?則?

2、?1kkAA(k?0?1?2?????n?1)?kkkkksAA????sincos1??顯然?變力F(x?y)沿有向小弧段所作的功可以近似為1?kkAA??kkkkkkkkkkksyxQyxPAAyx??????]sin)(cos)([)(1??F于是?變力F(x?y)所作的功????????111)(kkkknkAAyxWF??????11]sin)(cos)([nkkkkkkkksyxQyxP??從而????LdsyxQyxPW]

3、sin)(cos)([??這里???(x?y)?cos??sin?是曲線L在點(x?y)處的與曲線方向一致的單位切向量?把L分成n個小弧段?L1?L2?????Ln?變力在Li上所作的功近似為?F(?i??i)??si?P(?i??i)?xi?Q(?i??i)?yi?變力在L上所作的功近似為??])()([1iiiniiiiyQxP?????????變力在L上所作的功的精確值??])()([lim10iiiniiiiyQxPW?????

4、???????其中?是各小弧段長度的最大值?提示?用?si??xi??yi表示從Li的起點到其終點的的向量?用?si表示?si的模?對坐標(biāo)的曲線積分的定義對坐標(biāo)的曲線積分的定義?定義設(shè)函數(shù)f(x?y)在有向光滑曲線L上有界?把L分成n個有向小弧段L1?L2????????????niiiiiLyfdyzyxf10)(lim)(???????????niiiiiLzfdzzyxf10)(lim)(????對坐標(biāo)的曲線積分的簡寫形式對坐標(biāo)的

5、曲線積分的簡寫形式??dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPLLL)()()()(??????????????dzzyxRdyzyxQdxzyxP)()()(?dzzyxRdyzyxQdxzyxP)()()(?????對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)?(1)如果把L分成L1和L2?則?????????21LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx(2)設(shè)L是有向曲線弧??L是與L方向相反的有向曲線弧?則????????LL

6、dyyxQdxyxPdyxQdxyxP)()()()(兩類曲線積分之間的關(guān)系兩類曲線積分之間的關(guān)系?設(shè)cos?i?sin?i為與?si同向的單位向量?我們注意到?xi??yi??si?所以?xi?cos?i??si??yi?sin?i??si???????niiiiLxfdxyxf10)(lim)(???????????Lniiiiidsyxfsf?????cos)(cos)(lim10??????niiiiLyfdyyxf10)(li