曲線(xiàn)積分習(xí)題課

1、曲線(xiàn)積分 習(xí)題課,一、主要內(nèi)容,曲線(xiàn)積分,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分,對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分,定義,性質(zhì),計(jì)算公式,曲線(xiàn)積分,,,,（二）各種積分之間的聯(lián)系,曲線(xiàn)積分,,定積分,計(jì)算,重積分,,Green公式,,計(jì)算,,曲面積分,,,Guass公式,計(jì)算,Stokes公式,,積分概念的聯(lián)系,,定積分,,二重積分,,曲線(xiàn)積分,,三重積分,,曲線(xiàn)積分,,曲面積分,,,計(jì)算上的聯(lián)系,,,,,,,,,其中,,,,理論上的聯(lián)系,1.定積分與不定積分的聯(lián)系,

2、,牛頓--萊布尼茨公式,2.二重積分與曲線(xiàn)積分的聯(lián)系,,格林公式,3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系,,高斯公式,4.曲面積分與曲線(xiàn)積分的聯(lián)系,,斯托克斯公式,（三）場(chǎng)論初步,梯度,,通量,,散度,,環(huán)流量,,旋度,,關(guān)于對(duì)稱(chēng)性,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分與方向無(wú)關(guān)，,可以利用對(duì)稱(chēng)性,簡(jiǎn)化計(jì)算,設(shè)L 關(guān)于 x ( y ) 軸對(duì)稱(chēng),若 f( x ,y ) 關(guān)于 y ( x ) 是奇函數(shù),即,,則,,若 f( x ,y )

3、 關(guān)于 y ( x ) 是偶函數(shù),即,,則,,對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與方向有關(guān)，所以在考慮對(duì)稱(chēng)性時(shí)既要考慮被積函數(shù)與曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，還要考慮曲線(xiàn)的方向，因此直接應(yīng)用比較困難，一般是先轉(zhuǎn)化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分，然后再考慮使用對(duì)稱(chēng)性。,其中L1 是位于對(duì)稱(chēng)軸一側(cè)的部分,關(guān)于第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算,①若曲線(xiàn)封閉，首先考慮使用Green公式,②若曲線(xiàn)不封閉，可考慮添加輔助曲線(xiàn)使之封閉，然后再使用Green公式,此時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：⑴輔助線(xiàn)上的積分應(yīng)容

4、易計(jì)算，⑵輔助線(xiàn)的方向與曲線(xiàn)的方向相容，,③化成第一類(lèi)曲線(xiàn)積分計(jì)算,④按第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算公式直接計(jì)算,二、典型例題,例1 計(jì)算,,,所圍成的在第三象限的扇形的整個(gè)邊界,解,如圖,,,,,,,,L1,L1,L2,L2,L3,L3,,,,,L=L1+L2+L3,,,,,,,,解,,,,,,,,,,解,,,,(如下圖),,,,,,,,,,,,其中L為,①不包圍也不通過(guò)原點(diǎn)的任意閉曲線(xiàn),②以原點(diǎn)為中心的正向單位圓周,③包圍原點(diǎn)的任意正向