定積分的應(yīng)用習(xí)題課

1、,定積分的應(yīng)用習(xí)題課,微 元 法,理 論 依 據(jù),名稱釋譯,所求量的特點(diǎn),解 題 步 驟,定積分應(yīng)用中的常用公式,,,,,,一、主要內(nèi)容,1、理論依據(jù),,2、名稱釋譯,,3、所求量的特點(diǎn),,4、解題步驟,,5、定積分應(yīng)用的常用公式,(1) 平面圖形的面積,,,,,直角坐標(biāo)情形,,,,如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程,曲邊梯形的面積,參數(shù)方程所表示的函數(shù),,極坐標(biāo)情形,,(2) 體積,,,,,,平行截面面積為已知的立體的體積,,,

2、,,(3) 平面曲線的弧長,,,弧長,A．曲線弧為,弧長,B．曲線弧為,,C．曲線弧為,弧長,(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,,,,,(5) 細(xì)棒的質(zhì)量,,,,(6) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,,(7) 變力所作的功,(8) 水壓力,,(9) 引力,(10) 函數(shù)的平均值,(11) 均方根,,二、典型例題,例1,解,由對(duì)稱性,有,由對(duì)稱性,有,由對(duì)稱性,有,例2,解,如圖所示建立坐標(biāo)系.,于是對(duì)半圓上任一點(diǎn),有,故所求速度為,故將滿池水全部提

3、升到池沿高度所需功為,例3: 如圖, 平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角? , 計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積.,解: 取x為積分變量, 變化區(qū)間為[?R, R], 在[?R, R] 上任取一點(diǎn)x, 過x作垂直于x軸的平面截立體, 截面的面積,解:,例5 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第 次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多

4、少？,設(shè) 次擊入的總深度為 厘米,次錘擊所作的總功為,設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?第一次錘擊時(shí)所作的功為,解,次擊入的總深度為,第 次擊入的深度為,依題意知，每次錘擊所作的功相等．,例,6,,有一長度為,l,、線密度為,r,的均勻細(xì)棒，,在其中垂線上距棒,a,單位處有一質(zhì)量為,m,的質(zhì)點(diǎn),M,，計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn),M,的引力．,,,小段的質(zhì)量為,將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,解,小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為,由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分