習(xí)題課 定積分的應(yīng)用 - cc 40 support

1、,習(xí)題課,1. 定積分的應(yīng)用,幾何方面 :,面積、,體積、,弧長(zhǎng)、,表面積 .,物理方面 :,質(zhì)量、,作功、,側(cè)壓力、,引力、,2. 基本方法 :,元素法,元素形狀 :,條、,段、,帶、,片、,扇、,環(huán)、,殼 等.,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .,定積分的應(yīng)用,第六章,例1. 求拋物線,在(0,1) 內(nèi)的一條切線,,與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.,解: 設(shè)拋物線上切點(diǎn)為,則該點(diǎn)處的切線方程為,它與 x , y 軸的交點(diǎn)分別為,所指面積,使它,故為

2、最小值點(diǎn),,因而所求切線為,得[ 0 , 1] 上的唯一駐點(diǎn),例2. 設(shè)非負(fù)函數(shù),曲線,與直線,及坐標(biāo)軸所圍圖形,(1) 求函數(shù),(2) a 為何值時(shí), 所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體,解: (1),由方程得,面積為 2 ,,體積最小 ?,即,故得,又,,,(2) 旋轉(zhuǎn)體體積,又,,為唯一極小值點(diǎn),,因此,時(shí) V 取最小值 .,,例3. 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線,軸圍成平面圖形D.,(1) 求 D 的面積;,(2) 求D 繞直線 x = e

3、旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.,解: (1) 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則所求切線方程為,由切線過(guò)原點(diǎn)知,的切線. 該切線與曲線,因此,故切線方程為,D 的面積為,,(2003考研),(2) 求D 繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.,(2) 切線、x 軸及直線,所圍三角形繞直線,旋轉(zhuǎn)所得圓錐的體積為,曲線、x 軸及直線,所圍圖形繞直線,旋轉(zhuǎn)所,因此所求旋轉(zhuǎn)體體積為,,得旋轉(zhuǎn)體體積為,例4. 證明曲邊扇形,繞極軸,,,,,,,,,,,證

4、: 先求,上微曲邊扇形,繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積,體積元素,,故,旋轉(zhuǎn)而成的體積為,,,故所求旋轉(zhuǎn)體體積為,,,例5. 求由,與,所圍區(qū)域繞,旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.,解: 曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,曲線上任一點(diǎn),到直線,的距離為,則,例6. 半徑為 R , 密度為,的球沉入深為H ( H > 2 R ),的水池底, 水的密度,多少功 ?,解:,建立坐標(biāo)系如圖 .,則對(duì)應(yīng),上球的薄片提到水面上的功元素為,提出水面后的功元素為,,,,,,,

5、,,,現(xiàn)將其從水池中取出, 需做,體積元素,所受重力,上升高度,,,因此功元素為,球從水中提出所做的功為,“偶倍奇零”,,,,,,,,,例7. 設(shè)有半徑為 R 的半球形容器如圖.,(1) 以每秒為a 的速度向空容器中注水,,(0 < h < R ) 時(shí)水面上升的速度 .,(2) 設(shè)容器中已注滿水 , 求將其全部抽出所做的功最,少應(yīng)為多少 ?,解: 過(guò)球心的縱截面建立坐標(biāo)系如圖.,則半圓方程為,,設(shè)經(jīng)過(guò) t 秒容器內(nèi)水深為h