習(xí)題課 中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、,主講教師：陳殿友,,總課時(shí)：,128,,第四十八講,第二部分 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用總復(fù)習(xí),高等數(shù)學(xué),,第二章總復(fù)習(xí),一、 微分中值定理及其應(yīng)用,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,第二章,第二部分 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,,一、 微分中值定理及其應(yīng)用,1. 微分中值定理及其相互關(guān)系,羅爾定理,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 微分中值定理的主要應(yīng)用,(1)

2、研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài),(2) 證明恒等式或不等式,(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 有關(guān)中值問題的解題方法,利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .,一般解題方法:,證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 ,,(2) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 ,,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .,多用羅爾定理,,必須多次應(yīng)用,中值定理 .,(3) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) ,有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用 中值定

3、理 .,(4) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 設(shè)函數(shù),在,內(nèi)可導(dǎo), 且,證明,在,內(nèi)有界.,證: 取點(diǎn),再取異于,的點(diǎn),對(duì),為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理,,得,(定數(shù)),可見對(duì)任意,即得所證 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 設(shè),在,內(nèi)可導(dǎo), 且,證明至少存在一點(diǎn),使,上連續(xù), 在,證: 問題轉(zhuǎn)化為證,設(shè)輔助函數(shù),

4、顯然,在 [ 0 , 1 ] 上滿足羅爾定理?xiàng)l件,,故至,使,即有,少存在一點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)函數(shù) f (x) 在[0, 3] 上連續(xù), 在(0, 3) 內(nèi)可導(dǎo), 且,分析: 所給條件可寫為,(03考研),試證必存在,想到找一點(diǎn) c , 使,,證: 因 f (x) 在[0, 3]上連續(xù),,所以在[0, 2]上連續(xù), 且在,[0,

5、 2]上有最大值 M 與最小值 m,,故,,由介值定理, 至少存在一點(diǎn),,由羅爾定理知, 必存在,二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,1. 研究函數(shù)的性態(tài):,增減 ,,極值 ,,凹凸 ,,拐點(diǎn) ,,漸近線 ,,曲率,2. 解決最值問題,目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化,最值的判別問題,3. 其他應(yīng)用 :,求不定式極限 ;,幾何應(yīng)用 ;,相關(guān)變化率;,證明不等式 ;,研究方程實(shí)根等.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù),例4. 填空

6、題,(1) 設(shè)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,單調(diào)減區(qū)間為 ;,極小值點(diǎn)為 ;,極大值點(diǎn)為 .,提示:,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,單調(diào)增區(qū)間為 ;,.,在區(qū)

7、間 上是凸弧 ;,拐點(diǎn)為,提示:,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,形在區(qū)間 上是凹弧;,則函數(shù) f (x) 的圖,(2) 設(shè)函數(shù),的圖形如圖所示,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 設(shè),且在,上,存在 , 且單調(diào),遞減 , 證明對(duì)一切,有,證: 設(shè),則,所以當(dāng),令,得,即所證不等式成立 .