習(xí)題課 函數(shù)與極限 - cc 40 support

1、,二、 連續(xù)與間斷,一、 函數(shù),三、 極限,習(xí)題課,函數(shù)與極限,第一章,,一、 函數(shù),1. 概念,定義:,,定義域,值域,圖形:,( 一般為曲線 ),,設(shè),函數(shù)為特殊的映射:,其中,2. 特性,有界性 ,,單調(diào)性 ,,奇偶性 ,,周期性,3. 反函數(shù),設(shè)函數(shù),為單射,,反函數(shù)為其逆映射,4. 復(fù)合函數(shù),給定函數(shù)鏈,則復(fù)合函數(shù)為,5. 初等函數(shù),有限個常數(shù)及基本初等函數(shù),經(jīng)有限次四則運(yùn)算與,復(fù)合而成的一個表達(dá)式的函數(shù).,,,,,,,,思考

2、與練習(xí),1. 下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么?,相同,相同,相同,2. 下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為 x 的函數(shù)? 為什么?,不是,,,是,不是,提示: (2),3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么 ?,以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .,,4. 設(shè),求,及其定義域 .,5. 已知,, 求,6. 設(shè),求,,由,得,4. 解:,,5. 已知,, 求,解:,6. 設(shè),求,解:,解:,利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性 .,代入原方程得,

3、代入上式得,設(shè),其中,，求,令,即,即,令,即,,,,畫線三式聯(lián)立,,即,例1.,二、 連續(xù)與間斷,1. 函數(shù)連續(xù)的等價形式,,,,,,,有,2. 函數(shù)間斷點(diǎn),第一類間斷點(diǎn),第二類間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),無窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),,,,有界定理 ;,最值定理 ;,零點(diǎn)定理 ;,介值定理 .,3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),例2. 設(shè)函數(shù),在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b =

4、 .,提示:,,有無窮間斷點(diǎn),及可去間斷點(diǎn),解:,為無窮間斷點(diǎn),,所以,為可去間斷點(diǎn) ,,極限存在,例3. 設(shè)函數(shù),試確定常數(shù) a 及 b .,,,,,例4. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間,上 ,,, 若 f (x) 在,連續(xù),,提示:,閱讀與練習(xí),且對任意實(shí)數(shù),證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .,P65 題 1 , 3(2) ; P74 題 *6,,,,證:,P74 題*6. 證明: 若,令,則給定,當(dāng),時,,有

5、,又,根據(jù)有界性定理,,, 使,取,則,在,內(nèi)連續(xù),,存在, 則,必在,內(nèi)有界.,,,上連續(xù) , 且恒為正 ,,例5. 設(shè),在,對任意的,必存在一點(diǎn),證:,使,,令,, 則,,使,,,,,,故由零點(diǎn)定理知 , 存在,即,證明:,,,即,上連續(xù), 且 a ? c ? d ? b ,,例6. 設(shè),在,必有一點(diǎn),證:,使,即,由介值定理,,證明:,故,即,三、 極限,1. 極限定義的等價形式,(以 為例 ),(即

6、 為無窮小),,有,2. 極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則,3. 無窮小,無窮小的性質(zhì) ;,無窮小的比較 ;,常用等價無窮小:,4. 兩個重要極限,6. 判斷極限不存在的方法,5. 求極限的基本方法,或,例7. 求下列極限：,提示:,令,,,則有,復(fù)習(xí): 若,,,,例8. 確定常數(shù) a , b , 使,解: 原式可變形為,故,于是,而,,,,例9. 當(dāng),時,,是,的幾階無窮小?,解: 設(shè)其為 x 的

7、k 階無窮小,,則,因,故,閱讀與練習(xí),1. 求,的間斷點(diǎn), 并判別其類型.,解:,,,x = –1 為第一類可去間斷點(diǎn),x = 1 為第二類無窮間斷點(diǎn),x = 0 為第一類跳躍間斷點(diǎn),2. 求,解:,,原式 = 1,,(2000考研),注意此項(xiàng)含絕對值,作業(yè) P75 4 (1) , (4) ; 5 ; 8 ; 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 1