習(xí)題課 函數(shù)與極限

1、,二、 連續(xù)與間斷,,一、 函數(shù),三、 極限,,習(xí)題課,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,函數(shù)與極限,第一章,,一、 函數(shù),1. 函數(shù)的概念,定義:,,定義域,值域,圖形:,( 一般為曲線(xiàn) ),,設(shè),函數(shù)為特殊的映射:,其中,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 函數(shù)的特性,有界性 ,,單調(diào)性 ,,奇偶性 ,,周期性,3. 反函數(shù),設(shè)函數(shù),為單射,,反函數(shù)為其逆映射,4. 復(fù)合函數(shù),給定函數(shù)

2、鏈,則復(fù)合函數(shù)為,5. 初等函數(shù),有限個(gè)常數(shù)及基本初等函數(shù),經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù),復(fù)合而成的一個(gè)表達(dá)式的函數(shù).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 設(shè)函數(shù),,,,,求,解:,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解:,利用函數(shù)表示與變量字母的無(wú)關(guān)的特性 .,代入原方程得,代入上式得,設(shè),其中,求,令,即,即,令,即,,,,畫(huà)線(xiàn)三式聯(lián)立,,即,例2.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

3、 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么?,相同,相同,相同,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為 x 的函數(shù)? 為什么?,不是,,,是,不是,提示: (2),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么 ?,以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,4.

4、設(shè),求,及其定義域 .,5. 已知,, 求,6. 設(shè),求,,由,得,4. 解:,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,5. 已知,, 求,解:,6. 設(shè),求,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、 連續(xù)與間斷,1. 函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式,,,,,,,有,2. 函數(shù)間斷點(diǎn),第一類(lèi)間斷點(diǎn),第二類(lèi)間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),無(wú)窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

5、 返回 結(jié)束,有界定理 ;,最值定理 ;,零點(diǎn)定理 ;,介值定理 .,3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),例3. 設(shè)函數(shù),在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .,提示:,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,有無(wú)窮間斷點(diǎn),及可去間斷點(diǎn),解:,為無(wú)窮間斷點(diǎn),,所以,為可去間斷點(diǎn) ,,極限存在,例4. 設(shè)函數(shù),試確定常數(shù) a 及 b .,,,,,機(jī)動(dòng) 目

6、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間,上 ,,, 若 f (x) 在,連續(xù),,提示:,閱讀與練習(xí),且對(duì)任意實(shí)數(shù),證明 f (x) 對(duì)一切 x 都連續(xù) .,P64 題2(2), 4; P73 題5,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,,證:,P73 題5. 證明: 若,令,則給定,當(dāng),時(shí),,有,又,根據(jù)有界性定理,,, 使,取,則,在,內(nèi)連續(xù),,存在, 則

7、,必在,內(nèi)有界.,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、 極限,1. 極限定義的等價(jià)形式,(以 為例 ),(即 為無(wú)窮小),,有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則,3. 無(wú)窮小,無(wú)窮小的性質(zhì) ;,無(wú)窮小的比較 ;,常用等價(jià)無(wú)窮小:,4. 兩個(gè)重要極限,6. 判斷極限不存在的方法,～,～

8、,～,～,～,～,～,～,～,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,5. 求極限的基本方法,例6. 求下列極限：,提示:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,令,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,～,,則有,復(fù)習(xí): 若,,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例7. 確定常數(shù) a , b , 使,解:,原式,故,于是,而,,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

9、 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例8. 當(dāng),時(shí),,是,的幾階無(wú)窮小?,解: 設(shè)其為,的,階無(wú)窮小,,則,因,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,閱讀與練習(xí),1. 求,的間斷點(diǎn), 并判別其類(lèi)型.,解:,,,x = –1 為第一類(lèi)可去間斷點(diǎn),x = 1 為第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn),x = 0 為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 求,解:,,原式 = 1,,(2000考研),機(jī)