習(xí)題課 重積分的計算與應(yīng)用

1、,習(xí)題課,一、 重積分計算的基本方法,二、重積分計算的基本技巧,三、重積分的應(yīng)用,第十章,重積分的 計算 及應(yīng)用,一、重積分計算的基本方法,1. 選擇合適的坐標(biāo)系,使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;,被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.,2. 選擇易計算的積分序,積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .,圖示法,列不等式法,(從內(nèi)到外: 面、線、點),3. 掌握確定積分限的方法,,— 累次積分法,練習(xí),P180 2 (3) ; 7

2、 ; 8 (1), (3),2 (3). 計算二重積分,其中D 為圓周,所圍成的閉區(qū)域.,提示: 利用極坐標(biāo),原式,P180,,解答提示:,7. 把積分,化為三次積分,,其中? 由曲面,提示: 積分域為,原式,及平面,,所圍成的閉區(qū)域 .,,P181,8 (1) .計算積分,其中? 是兩個球,( R > 0 )的公共部分.,提示: 由于被積函數(shù)缺 x , y ,,原式 =,利用“先二后一” 計算方便 .,P181,8

3、(3).計算三重積分,其中? 是由,xOy平面上曲線,所圍成的閉區(qū)域 .,提示: 利用柱坐標(biāo),原式,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面,,,P181,二、重積分計算的基本技巧,分塊積分法,利用對稱性,1. 交換積分順序的方法,2. 利用對稱性或質(zhì)心公式簡化計算,3. 消去被積函數(shù)絕對值符號,練習(xí)題,*5. 利用重積分換元公式,P180 1 , 4 , 8 (2), 11,,答案提示: (見下頁),4. 利

4、用擴展積分域進行計算,1(1). 設(shè),由,確定 ,,由,所確定 , 則,提示:,C,右邊為正 ,,顯然不對 , 故選 ( C ),利用對稱性可知 , (A), (B), (D) 左邊為 0 ,,上半球,第一卦限部分,,,,1(2).,則,提示: 如圖 ,,由對稱性知,在,上是關(guān)于 y 的奇函數(shù),在,上是關(guān)于 x 的偶函數(shù),A,,,證明:,提示: 左端積分區(qū)域如圖,,,,,交換積分順序即可證得.,P181 4.,8(2).,其中? 是

5、,所圍成的閉區(qū)域 .,提示: 被積函數(shù)在對稱域 ? 上關(guān)于 z 為奇函數(shù) ,,利用,對稱性可知原式為 0.,由球面,P181,11. 在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 , 要接上一,個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,,使整個,的另一邊長度應(yīng)為多少?,提示: 建立坐標(biāo)系如圖.,由已知可知,由此解得,問接上去的均勻矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圓心上 ,,例1. 計算二重積分,其中:,(1) D為圓域,(2) D由直線

6、,解: (1) 利用對稱性.,圍成 .,(2) 積分域如圖:,,將D 分為,添加輔助線,利用對稱性 , 得,,例2. 計算二重積分,其中D 是由曲,所圍成的平面域 .,解:,其形心坐標(biāo)為:,面積為:,積分區(qū)域,,線,,形心坐標(biāo),,,例3. 計算二重積分,在第一象限部分.,解: (1),兩部分, 則,其中D 為圓域,把D 分成,,作輔助線,,,(2) 提示:,兩部分,說明: 若不用對稱性, 需分塊積分以去掉絕對值符號.,作輔助線,

7、,將D 分成,,,例4.,求拋物線,所圍區(qū)域 D 的面積A .,解:如圖所示,,,,注:,則也可利用上述方法簡化計算.,上可積 ,,,,,例5. 交換積分順序計算,,,,解. 積分域如圖.,例6.,解: 在球坐標(biāo)系下,利用洛必達法則與導(dǎo)數(shù)定義,得,其中,,三、重積分的應(yīng)用,1. 幾何方面,面積 ( 平面域或曲面域 ) , 體積 , 形心,質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動慣量, 質(zhì)心, 引力,證明某些結(jié)論等,2. 物理方面,3. 其它方面,例7.,證明

8、,證:左端,= 右端,,=,例8.,設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零,,其中,(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +∞) 內(nèi)的單調(diào)性;,(2) 證明 t > 0 時,,(2003考研),解: (1) 因為,兩邊對 t 求導(dǎo), 得,? f (x) 恒大于零,,(2) 問題轉(zhuǎn)化為證,,即證,故有,因此 t > 0 時,,因,利用“先二后一”計算.,,例9. 試計算橢球體,的體積 V.,,解法1,*解法2,利用三重積