導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課件10

1、1．4　生活中的優(yōu)化問題舉例,能利用導(dǎo)數(shù)知識解決實際生活中的最優(yōu)化問題．,本節(jié)重點：利用導(dǎo)數(shù)知識解決實際中的最優(yōu)化問題．本節(jié)難點：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)模型．,1．解決實際應(yīng)用問題時，要把問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式，這需要通過分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成，函數(shù)的最值要由 和 確定，當定義域是且函數(shù)只有一個時，這個 也就是它的 ．2．生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率

2、最高等問題，這些問題通常稱為．通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道是求函數(shù)最大(小)值的有力工具，運用 可以解決一些生活中的 ．,極值,端點的函數(shù)值,開區(qū)間,極值,極值,最值,優(yōu)化問題,導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù),優(yōu)化問題,[例1]　在邊長為60cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？,[分析]　根據(jù)所給幾何體的體積公式建模．[解析]　設(shè)

3、箱高為xcm，則箱底邊長為(60－2x)cm，則得箱子容積V是x的函數(shù)，V(x)＝(60－2x)2·x(00，當10<x<30時，V′(x)<0.,∴當x＝10時，V(x)取極大值，這個極大值就是V(x)的最大值．答：當箱子的高為10cm，底面邊長為40cm時，箱子的體積最大．[點評]　在解決實際應(yīng)用問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只需根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值．不必再與端點的函數(shù)

4、值進行比較．,[例2]　有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最??？,[分析]　根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當選定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)的

5、方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點C的位置．,[解析]　解法1：根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設(shè)C點距D點xkm，則∵BD＝40，AC＝50－x，令y′＝0，解得x＝30.當00.,因此函數(shù)在x＝30(km)處取得最小值，此時AC＝50－x＝20(km)．∴供水站建在A，D之間距甲廠20km處，可使水管費用最?。?[點評]　解決實際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標函數(shù)，把“問題

6、情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化、抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解．對于這類問題，學(xué)生往往忽視了數(shù)學(xué)語言和普通語言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問題的最大思維障礙．運算不過關(guān)，得不到正確的答案，對數(shù)學(xué)思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正確的解題思路，在此需要我們依據(jù)問題本身提供的信息，利用所謂的動態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，并從中進行一番選擇．,[分析

7、]　根據(jù)題意，月收入＝月產(chǎn)量×單價＝px，月利潤＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函數(shù)關(guān)系式建立數(shù)學(xué)模型后再利用導(dǎo)數(shù)求最大值．,答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時利潤達到最大，最大利潤為315萬元．[點評]　建立數(shù)學(xué)模型后，注意找準函數(shù)的定義域，這是此類題解答過程中極易出錯的地方．,一、選擇題1．曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離為(　　)[答案]　A,2

8、．以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為(　　)A．10 B．15 C．25 D．50[答案]　C,3．用總長為6m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的相鄰兩邊長之比為34，那么容器容積最大時，高為(　　)A．0.5m B．1m C．0.8m D．1.5m[答案]　A,二、填空題4．如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗

9、戶面積一定，窗戶周長最小時，x與h的比為________．[答案]　1∶1,5．設(shè)某銀行中的總存款與銀行付給存戶的利率的平方成正比，若銀行以10%的年利率把總存款的90%貸出，同時能獲得最大利潤，需要支付給存戶的年利率定為________．[答案]　6%[解析]　設(shè)支付給存戶的年利率為x，銀行獲得的利潤y是貸出后的收入與支付給存戶利息的差，即y＝kx2×0.9×0.1－kx2·x＝0.09

10、kx2－kx3(x>0)，y′＝0.18kx－3kx2，由y′＝0，得x＝0.06或x＝0(舍去)．當x∈(0,0.06)時，y′>0，當x∈(0.06，＋∞)時，y′<0，故當x＝0.06時，y取最大值．,三、解答題6．如圖，要設(shè)計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與

11、寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最小？[解析]　設(shè)廣告的高和寬分別為xcm，ycm，,當x＝140時，y＝175.即當x＝140，y＝175時，S取得最小值24500，故當廣告的高為140cm，寬為175cm時，可使廣告的面積最?。?令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函數(shù)在(140，＋∞)上單調(diào)遞增，在(20,140)上單調(diào)遞減，∴S(x)的最小值為S(140)