導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課件9

1、1．3.3　函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),1．理解函數(shù)最值的概念及閉區(qū)間上函數(shù)存在最值的定理．2．掌握用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最大值和最小值的方法．,本節(jié)重點(diǎn)：函數(shù)在閉區(qū)間上最值的概念與求法．本節(jié)難點(diǎn)：極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，求最值的方法．,極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系(1)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是函數(shù)在整個定義域上的情況，是對函數(shù)在整個定義域上的函數(shù)值的比較．(2)函數(shù)的極值不一定是最值，需對

2、極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，或者考察函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．(3)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值．(4)可用函數(shù)的單調(diào)性求f(x)在區(qū)間上的最值，若f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)，若f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．,1．函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值設(shè)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)

3、間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在[a，b]上一定能取得 ，函數(shù)的必在或 取得．但在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x) 有最大值與最小值．2．求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟：(1)求f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的；(2)計算函數(shù)f(x)在各和處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中

4、的一個為最大值，的一個為最小值．,最大值與最,小值,最值,極值點(diǎn),區(qū)間端點(diǎn),不一定,極值,極值點(diǎn),端點(diǎn),最大,最小,[例1]　求函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋1在區(qū)間[－1,2]上的最大值與最小值．[分析]　首先求f(x)在(－1,2)內(nèi)的極值，然后將f(x)的各極值與f(－1)，f(2)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．,[解析]　f′(x)＝3x2－4x.,[點(diǎn)評]　注意比較求函數(shù)最值與求函數(shù)極值的不同．,[例2

5、]　已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值．[分析]　由題目可獲取以下主要信息：①函數(shù)f(x)＝x2(x－a)中含有參數(shù)a；②在a確定的情況下，求切線方程；③在a不確定的情況下求函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最大值．解答本題可先對函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)a的不同取值范圍，討論確定f(x)在[0,2]上的最

6、大值．,[解析]　(1)f′(x)＝3x2－2ax.因為f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又當(dāng)a＝0時，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為3x－y－2＝0.,[點(diǎn)評],[例3]　已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，問是否存在實數(shù)a，b，使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．[分析]　由題目可獲取以下主要信息：①函數(shù)

7、f(x)＝ax3－6ax2＋b在x∈[－1,2]上的最大值為3，最小值為－29；②根據(jù)最大值、最小值確定a，b的值．解答本題可先對f(x)求導(dǎo)，確定f(x)在[－1,2]上的單調(diào)性及最值，再建立方程從而求得a，b的值．,[解析]　存在．顯然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．(1)當(dāng)a>0時，x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表：,所以當(dāng)x＝0時，f(x)取最大值，

8、所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝3－16a，f(－1)＝3－7a，f(－1)>f(2)，所以當(dāng)x＝2時，f(x)取最小值，即f(2)＝3－16a＝－29，所以a＝2.,(2)當(dāng)af(－1)，所以當(dāng)x＝2時，f(x)取最大值，即－16a－29＝3，所以a＝－2.綜上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.,[點(diǎn)評]　已知函數(shù)的最值求解待定系數(shù)的取值或參數(shù)的取值范圍是函數(shù)最值應(yīng)用的常見題型之一，由于參數(shù)會對函數(shù)的最值的

9、取到點(diǎn)有影響，所以解決這類問題常需要分類討論，并結(jié)合不等式的知識進(jìn)行求解．,一、選擇題1．若函數(shù)f(x)＝－x4＋2x2＋3，則f(x)(　　)A．最大值為4，最小值為－4B．最大值為4，無最小值C．最小值為－4，無最大值D．既無最大值，也無最小值[答案]　B[解析]　f′(x)＝－4x3＋4x由f′(x)＝0得x＝±1或x＝0易知f(－1)＝f(1)＝4為極大值也是最大值，故應(yīng)選B.,2．已知f(x)＝

10、2x3－6x2＋m(m是常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值為(　　)A．－37　　　　　　 B．－29C．－5 D．－11[答案]　A[解析]　f′(x)＝6x2－12x＝6(x2－2x)＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m.∴f(0)>f(2)>f(－2)∴m＝3，最小值為f(－2)＝－

11、37，故應(yīng)選A.,[答案]　B,二、填空題4．函數(shù)y＝x4－2x3在[－2,3]上的最大值為______，最小值為________．,5．若函數(shù)f(x)在[a，b]上滿足f′(x)>0，則f(a)是函數(shù)的最________值，f(b)是函數(shù)的最________值．[答案]　小　大[解析]　由f′(x)>0，∴f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，∴f(a)是函數(shù)的最小值，f(b)是函數(shù)的最大值．,三、解答題6．求函數(shù)f(

12、x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最大值和最小值．[解析]　解法1：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3，∴f′(x)＝－4x3＋4x.由f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，或x＝0，或x＝1.當(dāng)x變化時，f′(x)及f(x)的變化情況如下表：,∴當(dāng)x＝－3時，f(x)有最小值－60；當(dāng)x＝±1時，f(x)有最大值4.解法2：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3，∴f′(x)＝－4x3＋4x.