導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課件15

1、1．7　定積分的簡單應(yīng)用,利用定積分的思想方法解決一些簡單曲邊圖形的面積、變速直線運動的路程、變力作功等問題．,本節(jié)重點：應(yīng)用定積分的思想方法，解決一些簡單的諸如求曲邊梯形面積、變速直線運動的路程、變力作功等實際問題．本節(jié)難點：把實際問題抽象為定積分的數(shù)學(xué)模型．,1．利用定積分求平面圖形的面積的步驟(1)畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖象．(2)借助圖形確定出被積函數(shù)．(3)確定積分的 ，需要求出交點的坐

2、標(biāo)．(4)把所求轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問題．,上、下限,圖形的面積問題,,,,,[例1]　如圖，求曲線y＝x2與直線y＝2x所圍圖形的面積S.[分析]　從圖形上可以看出，所求圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一個梯形與一個曲邊梯形面積的差，進而可以用定積分求出面積．為了確定出積分的上、下限，我們需要求出直線和拋物線的交點的橫坐標(biāo)．,[點評]　求平面圖形的面積的一般步驟：(1)畫圖，并將圖形分割成若干曲邊梯形；(2)對每個曲邊梯形確定其存在的

3、范圍，從而確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)；(4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值之和．關(guān)鍵環(huán)節(jié)：①認定曲邊梯形，選定積分變量；②確定被積函數(shù)和積分上、下限．知識小結(jié)：幾種典型的曲邊梯形面積的計算方法：,解法2：若選積分變量為y，則三個函數(shù)分別為x＝y(tǒng)2，x＝2－y，x＝－3y.因為它們的交點分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)．,[點評]　由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)段內(nèi)位于上方和下

4、方的函數(shù)有所變化，通過解方程組求出曲線的不同的交點坐標(biāo)，可以將積分區(qū)間進行細化區(qū)段，然后根據(jù)圖象對各個區(qū)段分別求面積進而求和，在每個區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下；若積分變量選取x運算較為復(fù)雜，可以選y為積分變量，同時更改積分的上下限．,[例3]　有一動點P沿x軸運動，在時間t時的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求(1)P從原點出發(fā)，當(dāng)t＝6時，求點P離開原點的路程和位移；(2)P從原點出發(fā)，經(jīng)過時間t后又

5、返回原點時的t值．,[解析]　(1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4，即當(dāng)0≤t≤4時，P點向x軸正方向運動，當(dāng)t>4時，P點向x軸負方向運動．故t＝6時，點P離開原點的路程,[點評]　路程是位移的絕對值之和，從時刻t＝a到時刻t＝b所經(jīng)過的路程s和位移s′情況如下：,[例4]　一物體按規(guī)律x＝bt3做直線運動，式中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)阻力與速度的平方成正比，試求物體由x＝0運動到x＝a時，阻力所做的功．,[點

6、評]　本題常見的錯誤是在計算所做的功時，誤將W阻＝∫t10F阻ds寫為∫t10F阻dt.,[答案]　C[解析]　∵y＝x3與y＝x為奇函數(shù)且x≥0時，交于(0,0)和(1,1)．,2．已知自由落體的速率v＝gt，則落體從t＝0到t＝t0所走的路程為(　　)[答案]　C,3．如果1N能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm，所耗費的功為(　　)A．0.18J　 　B．0.26J　 　C．0.12J