導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課件8

1、1．3.2　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),1．掌握極值的概念，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件．2．會(huì)用導(dǎo)數(shù)求一些函數(shù)的極大值和極小值．,本節(jié)重點(diǎn)：函數(shù)極值的概念與求法．本節(jié)難點(diǎn)：函數(shù)極值的求法．,1．極值點(diǎn)與極值(1)極小值與極小值點(diǎn)(對(duì)可導(dǎo)函數(shù))如圖，若a為極小值點(diǎn)，f(a)為極小值，則必須滿足：①f(a) f(x0)(f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函數(shù)值)；②f′(a)＝；③在x＝a附近的左側(cè)f′(x) 0

2、，函數(shù)單調(diào)遞；在x＝a附近的右側(cè)f′(x) 0，函數(shù)單調(diào)遞．,<,0,<,減,>,增,(2)極大值與極大值點(diǎn)(對(duì)可導(dǎo)函數(shù))如圖，若b為極大值點(diǎn)，f(b)為極大值，則必須滿足：①f(b) f(x0)(f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函數(shù)值)；②f′(b)＝；③在x＝b附近的左側(cè)，f′(x) 0，函數(shù)單調(diào)增；在x＝b附近的右側(cè)，f′(x) 0，函數(shù)單調(diào) ．極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)

3、統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫(huà)的是函數(shù)的局部性質(zhì)．,>,0,>,<,減,2．求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的方法是：解方程f′(x)＝0.當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè) ，右側(cè) ，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè) ，右側(cè) ，那么f(x0)是極小值．,f′(x)＞0,f′(x)＜0,f′

4、(x)＜0,f′(x)＞0,[例1]　判斷函數(shù)y＝x3在x＝0處能否取得極值．[分析]　可由極值的定義來(lái)判斷，也可由導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷．[解析]　解法1：當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0，在x＝0的附近區(qū)域內(nèi)，f(x)有正有負(fù)，不存在f(0)>f(x)(或f(0)0，當(dāng)y＝0時(shí)，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，因?yàn)閱握{(diào)函數(shù)沒(méi)有極值，所以y＝x3在x＝0處取不到極值．,[點(diǎn)評(píng)]　(1)f′(x0)＝0是函數(shù)y＝f(x)在

5、x＝x0處有極值的必要條件而不是充分條件，如果再加上x(chóng)0附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能判定在x＝x0處取得極值．(2)在區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)是沒(méi)有極值的，像這樣的重點(diǎn)結(jié)論可記熟．,2．求可導(dǎo)函數(shù)極值的基本步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的全部實(shí)根；(4)檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左、右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)(或左負(fù)右正)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值(或極小值)．總之

6、，求可導(dǎo)函數(shù)的極值的核心是：解方程f′(x)＝0；列表；模擬圖象；確定極大值或極小值．,[例3]　已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1處的極大值為4，極小值為0，試確定a、b、c的值．[分析]　本題的關(guān)鍵是理解“f(x)在x＝±1處的極大值為4，極小值為0”的含義．即x＝±1是方程f′(x)＝0的兩個(gè)根且在根x＝±1處f′(x)取值左右異號(hào)．,[解析]　f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2

7、(5ax2－3b)．由題意，f′(x)＝0應(yīng)有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)(1)當(dāng)a＞0時(shí)，,[點(diǎn)評(píng)]　緊扣導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系對(duì)題目語(yǔ)言進(jìn)行恰當(dāng)合理的翻譯、轉(zhuǎn)化是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．,[例4]　求函數(shù)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)內(nèi)的極值(a>0)[解析]　由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時(shí)，f

8、′(x)、f(x)的變化情況如下表：,由此可得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極大值f(0)＝－2，無(wú)極小值；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無(wú)極值；當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極小值f(2)＝－6，無(wú)極大值；當(dāng)a≥3時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無(wú)極值．綜上得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)有極大值－2，無(wú)極小值；當(dāng)1<a<3時(shí)，

9、f(x)有極小值－6，無(wú)極大值；當(dāng)a＝1或a≥3時(shí)，f(x)無(wú)極值．,[點(diǎn)評(píng)]　判斷函數(shù)極值點(diǎn)的注意事項(xiàng)(1)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)．(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值．(3)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)，如f(x)＝|x|在x＝0處不可導(dǎo)，但由圖象結(jié)合極小值定義知f(x)＝|x|在x＝0處取極小值．(4)

10、在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)，且極大值不一定比極小值大．,(5)在討論可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值時(shí)，若方程f′(x)＝0的實(shí)數(shù)根較多時(shí)，應(yīng)注意使用表格，使極值點(diǎn)的確定一目了然．(6)極值情況較復(fù)雜時(shí)，注意分類討論．,已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x＝－1處取得極大值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．[分析]　本小題主

11、要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類整合思想、推理和運(yùn)算能力．,[解析]　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，當(dāng)a0，∴當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)．,∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.∵直線y＝m與函數(shù)y＝f

12、(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又f(－3)＝－191，結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(－3,1)．,一、選擇題1．若函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，則f′(x0)＝0是x0為函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]　B[解析]　如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函數(shù)y＝x3的極值點(diǎn)．,2．函數(shù)y＝x3＋

13、1的極大值是(　　)A．1　　　　B．0　　　　C．2　　　　D．不存在[答案]　D[解析]　∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，∴函數(shù)y＝x3＋1在R上是單調(diào)增函數(shù)，∴函數(shù)y＝x3＋1無(wú)極值．,3．三次函數(shù)當(dāng)x＝1時(shí)，有極大值4；當(dāng)x＝3時(shí)，有極小值0，且函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，則此函數(shù)是(　　)A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x[答案]

14、　B[解析]　適合題意的函數(shù)滿足f(1)＝4，排除A、C、D.,二、填空題4．若函數(shù)f(x)＝x3＋ax在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[答案]　a<0[解析]　f′(x)＝3x2＋a由題設(shè)條件知f′(x)＝0應(yīng)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，∴a＜0.,5．若x＝2是函數(shù)f(x)＝x(x－m)2的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極大值為_(kāi)_______．[答案]　32[解析]　f′(x)＝(x－m)2＋2x(x