擴(kuò)散過(guò)程在若干交叉領(lǐng)域中的理論及應(yīng)用.pdf

1、擴(kuò)散過(guò)程起源于物理學(xué),之后引起數(shù)學(xué)學(xué)者們的廣泛關(guān)注,一直以來(lái)是隨機(jī)分析方向的前沿和熱點(diǎn)。如何延續(xù)這種擴(kuò)散過(guò)程和其它領(lǐng)域的有機(jī)結(jié)合,體現(xiàn)交叉效用,拓展擴(kuò)散過(guò)程理論的研究視野,是一個(gè)具有理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的研究領(lǐng)域。
　　全文的創(chuàng)新性工作如下:
　　在第3章中我們研究了擴(kuò)散過(guò)程與隨機(jī)序理論的交叉。利用擴(kuò)散過(guò)程和條件期望的性質(zhì),直接證明了擴(kuò)散過(guò)程隨機(jī)序的比較定理,包括強(qiáng)序、增凸序、增凹序及Laplace-Stieltjes轉(zhuǎn)移

2、序。然后將隨機(jī)序方法應(yīng)用到擴(kuò)散過(guò)程的Fokker-Planck方程中,證實(shí)了一類偏微分方程解的弱比較定理。
　　在第4章中我們探討了擴(kuò)散過(guò)程與灰色系統(tǒng)、統(tǒng)計(jì)推斷的交叉。一方面針對(duì)小樣本觀測(cè)值的情形,首次提出了用灰估計(jì)的方法來(lái)估計(jì)隨機(jī)微分方程中的參數(shù),兩者間的橋梁是Ito公式。通過(guò)實(shí)例表明:與原有的方法相較,參數(shù)估計(jì)的效果相差不大,但我們所需要的數(shù)據(jù)信息少,在實(shí)際中可操作性強(qiáng),試驗(yàn)成本低。另一方面給出了一類廣義的擴(kuò)散過(guò)程(McKea

3、n-Vlasov隨機(jī)微分方程)的參數(shù)估計(jì)方法,在一些假設(shè)條件下,通過(guò)一定的變換,將非時(shí)齊的Markov過(guò)程變形為時(shí)齊的Markov過(guò)程。再通過(guò)對(duì)后者作參數(shù)估計(jì)進(jìn)而討論原方程的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題,得到了參數(shù)的極大似然估計(jì)和貝葉斯估計(jì),并證明了它們的性質(zhì)。
　　在第5章中我們討論了擴(kuò)散過(guò)程與三個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域的交叉。首先研究了非高斯噪聲對(duì)熱鹽環(huán)流的影響,根據(jù)噪聲的性質(zhì)將其用一個(gè)α-穩(wěn)定的levy過(guò)程描述,建立了隨機(jī)Stommel模型,再用數(shù)值的方

4、法模擬隨著α的變動(dòng),方程解的平均逃逸時(shí)的變化情況,從而得到鹽度差的穩(wěn)定范圍。其次,分析了納米藥物進(jìn)入機(jī)體后的吸附過(guò)程,引入白噪聲項(xiàng)描述隨機(jī)因素對(duì)該過(guò)程的影響,建立了納米藥物的吸附動(dòng)力學(xué)模型,并分析了參數(shù)的變動(dòng)對(duì)整個(gè)吸附過(guò)程的影響,用于確定納米藥物的制備參數(shù)及指導(dǎo)用藥量。最后,針對(duì)離子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由于自身帶電荷,相互間產(chǎn)生電磁場(chǎng)不再做自由擴(kuò)散這一情況,引入McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程描述離子的運(yùn)動(dòng)狀況。推導(dǎo)出轉(zhuǎn)移密度滿足的非線性