Boltzmann方程的粘性分析.pdf

1、Boltzmann方程是非平衡態(tài)統(tǒng)計物理學中最重要的模型之一。從數(shù)學上來說，Boltz-mann方程是一個積分微分方程。方程的右端項-碰撞算子，在實際中(考慮三維空間)是一個五重積分。同時，碰撞算子只是對速度變量v作用，關于t，x是局部的，這就給方程帶來了某種程度上的退化。所以，不管從數(shù)值計算方面，還是從偏微分方程理論方面，Boltzmann方程的研究都是當前數(shù)學所面臨的巨大挑戰(zhàn)之一。 對于均勻氣體的空間齊次Boltzmann方

2、程來說，迄今已有了相對深入的研究和了解。當然，這只是對剛勢作用而言，有關軟勢的研究仍然比較少。不管怎樣，對于空間非齊次Boltzmann方程，所得到的結(jié)果卻還是相當缺乏的。關于完全Boltzmann方程的一個至今較滿意的結(jié)果，就是二十多年前由DiPema和Lions建立起來的重正規(guī)化理論。然而，重正規(guī)化解的唯一陛與可微性質(zhì)，仍然是一個開問題。二十多年來，人們對它做了不少的工作，對碰撞算子的性質(zhì)也有了更深入的了解。然而，要解決這個開問題，

3、也許需要新的工具和理論的出現(xiàn)。 關于Boltzmann方程解對初始值的穩(wěn)定性分析，已經(jīng)有了不少的結(jié)果[4，58，100].本文將從粘性分析的角度對Boltzmann方程進行了穩(wěn)定性研究，據(jù)我們所知，這還是一個嶄新的領域。這里的粘性方程是通過增加關于速度v的Laplacian項ε△v得到的，這一項也稱為Fokker-Plank項.從物理意義上來說，這是由于分子的擴散引起的。有趣的是，也許可以考慮關于x的Laplacian項進行粘性

4、近似。但是，關于它的物理意義至今不清楚。本文得到的主要結(jié)果有二：一是對于角截斷空間齊次情形，包括Maxwell分子勢、剛勢碰撞，本文給出了粘性近似解與原方程的解之間的一個精確的近似估計。需要說明的是，這些估計是依賴于時間的，這與粘性方程中粘性項的擴散效果有關；二是對于空間非齊次Boltzmann方程的情形，本文在重正規(guī)化框架下研究了粘性近似解的漸近行為，得到了：當粘性系數(shù)趨于0時，粘性近似重正規(guī)化解在L1中收斂于非齊次Boltzmann

5、方程的一個具有“虧損測度”的重正規(guī)化解。 本文第一章介紹了有關Boltzmann方程的一些基本知識，包括一些基本概念、Boltzmann的H-定理、基本的先驗估計、碰撞算子的性質(zhì)。 第二章介紹了關于Boltzmann方程的一些重要的結(jié)果，包括空間齊次Boltzmann方程解的存在唯一性、矩的估計、解的正則性與奇異性的傳輸、趨向于平衡態(tài)的問題，以及非齊次Boltzmann方程的重正規(guī)化理論和傳輸方程的速度平均理論。值得一提

6、的是，有關Boltzmann方程的結(jié)果很多，這里主要是關于Cauchy問題的一些重要的結(jié)果，特別是關于具有角截斷剛勢的情形。其它的結(jié)果可以參見后面的參考文獻。 第三章主要研究了具有角截斷Maxwell分子的粘性近似.利用基本解的表示，研究了粘性解(我們稱之為溫和解)的存在唯一性，并在C0意義下得到了粘性近似的精確估計。第四章研究了剛勢且具有角截斷的空間齊次Boltzmann方程的粘性近似。利用Schauder不動點定理，證明了粘