Boltzmann方程及其動(dòng)力學(xué)模型.pdf

1、稀薄氣體的動(dòng)力學(xué)方程是數(shù)學(xué)物理的重要研究分枝之一。該方向涉及自然科學(xué)的許多領(lǐng)域，應(yīng)用十分廣泛，例如：非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)力學(xué)，天體物理，等離子體，半導(dǎo)體，航空技術(shù)和核反應(yīng)堆理論等本學(xué)位論文以經(jīng)典Boltzmann方程，(Gauss)BGK模型以及描述耗散氣體的Boltzmann 型方程等為研究對(duì)象，以尚待研究的問(wèn)題為核心，建立一系列有關(guān)定性數(shù)學(xué)結(jié)果。 第一章，簡(jiǎn)要的介紹了所要研究的幾類數(shù)學(xué)物理方程；就本學(xué)位論文所涉及的問(wèn)題分析了它們的研

2、究現(xiàn)狀和存在的問(wèn)題最后，給出本文所得到的一些主要結(jié)果，它們將在以后各章節(jié)中得到證明。 第二章研究一類刻劃散體介質(zhì)流氣體的Boltzmann型方程，這是一個(gè)全新的研究方向。問(wèn)題的物理背景是：氣體中任何兩分子在每次相互作用后保持動(dòng)量守恒，但能量有一定的損失；并且氣體被置十一個(gè)大熱庫(kù)中在這種隋況下氣體的微觀狀志滿足一個(gè)Fbkker-Planck_Boltzmann型方程。本文在擬Maxwell分子模型近似隋況下研究其空間均勻解的光滑性

3、和大時(shí)間或漸近行為。首先，在初始分布是一個(gè)整體速度為零溫度有限的概率密度這一最弱的假設(shè)下，證明了解的光滑陛并給出了其snholev范數(shù)在零時(shí)刻的漸近估計(jì)其次，利用這一止則性結(jié)果和插值方法證明了當(dāng)t→∞時(shí)解指數(shù)收斂于平衡態(tài)并給出了收斂指數(shù)的估計(jì)這些結(jié)果改進(jìn)了M.Bisi，J A carrillo和G.rnscani在24中所得到的結(jié)論。 第三章以研究經(jīng)典Bohzmann方程空間均勻的概率解為核心，采用了Grad弱角截?cái)嗟挠参粍?shì)。首

4、先，利用Boltzmann碰撞貸子在連續(xù)函數(shù)空間上定義了一個(gè)連續(xù)線性泛函，由此將碰撞算子的定義域拓展到概率測(cè)度空問(wèn)在這種情況下，給出了空間均勻Boltzmann方程在概率測(cè)度空間中的等價(jià)表述。其次，借鑒于[44]等中的方法給出了概率解的一些先驗(yàn)估計(jì)，在初始分布分別屬十概率測(cè)度空間p2(R3)和p4(R3)的情況下證明了守恒解的存在性和唯一性最后，利用Mischler和wennberg在[37]中推廣的Povmer不等式和Desville

5、ttes的方法[42]，建立了高階矩的生成定理這些結(jié)果將[33，36，37，39，40，41，42，44]中部分已知經(jīng)典結(jié)論推廣到概率解；同時(shí)也改進(jìn)了[38，56，57，58]中有關(guān)概率解的結(jié)論。 第四章，研究一般經(jīng)典Bohzmann方程指數(shù)型衰減的能量無(wú)限解，采用了Grad弱角截?cái)嗟妮Y位勢(shì)。首先，建立了碰撞算子在一類指數(shù)衰減(能量可以無(wú)限)可測(cè)函數(shù)類中的一致性估計(jì)，結(jié)合Kanile-shinbrot方法[59]證明了小振幅初始

6、值問(wèn)題解的存在唯一性以及穩(wěn)定性．其次，在一般情況下建立了這種能量無(wú)限解在該函數(shù)類中的穩(wěn)定性(但足未獲得存在性以及解的大時(shí)間漸近行為這些結(jié)果改進(jìn)了Mlschler和Petthame在[70]中證明的結(jié)論注意到在[74]中建立了碰撞算子在連續(xù)函數(shù)空間上的一種極其重要的表不井在連續(xù)函數(shù)類中建立了類似的結(jié)果，這里采用了Kaniel-shjnbrot方法。 第五章在RN中研究氣體動(dòng)力學(xué)理論中極其重要的BGK模型。首先，證明了Penhame

7、在其重要上作[12]中所構(gòu)造的整體分布解具有高階矩的傳播性質(zhì)。其次，在碰撞頻率ν=ρμ(t，x)(μ≥1)的一般情況下，在一類加權(quán)L∞空間中證明了BGK模型解的唯一陛，同時(shí)還給出了一個(gè)局部存在陛結(jié)果，它們部分的改進(jìn)了[87，88]中已有結(jié)論。 第六章在的RN中研究BGK模型的Lρ解。首先，將[87]中有關(guān)流體動(dòng)力學(xué)量的L∞估計(jì)推廣到Lp占計(jì)，由此建立局部Maxwell分布的加權(quán)LP估計(jì)，它是對(duì)BGK碰撞模型的一種有效的估計(jì)方法.

8、其次，在以上估計(jì)的基礎(chǔ)之上建立了方程的一致性LP估計(jì)，然后利用速度平均緊引理和矩引理證明了逼近解的強(qiáng)收斂性，由此獲得了LP解的存在性；同時(shí)還給出了解的守恒性等一系列性質(zhì)最后，證明了上述解對(duì)某些LP矩的傳播性.其中，解的存在性是一個(gè)不同于Petthame存在定理[12]的結(jié)果。 第七章研究BGK模型的一個(gè)修止情形，即橢圓統(tǒng)計(jì)模型(ellipsoidal statistlcalmodel)，又稱為Gauss BGK模型它是一類極其復(fù)