空間齊次的Fokker-Planck-Boltzmann方程.pdf

1、氣體動力學(xué)是統(tǒng)計力學(xué)的重要組成部分,而統(tǒng)計力學(xué)的基本出發(fā)點就是對氣體的微觀狀態(tài)以及人們對其微觀狀態(tài)的觀測進行統(tǒng)計平均,并用統(tǒng)計的方法處理問題.它認為在任意給定的時刻一個氣體分子的運動狀態(tài)是不確定的,人們只能給出該分子在某一狀態(tài)附近出現(xiàn)的概率.而Boltzmann方程就是概率密度所滿足的一類非線性微分積分方程,它刻畫了相對稀疏氣體的統(tǒng)計演化規(guī)律.早在1972年,L.Arkeryd就利用緊性和單調(diào)性方法在一定條件下證明了空間齊次Boltzm

2、ann方程整體解的存在性和唯一性<'[1]>隨后,有許多人對該方程做了大量的研究<'[2,3]>,然而比較完善的結(jié)果是由S.Mischer和B.Wennberg近期給出的<'[4]>.而對空間非齊次的Boltzmann方程,1988年,R.J.DiPerna和P.L.Lions考慮了具有Fokker-Planck型算子擾動時的空間非齊次Boltzmann方程,證明了該方程的一種弱解(renormalized solution)的整體存在

3、性<'[5]>.2001年C.Cercignani,R.Illner和C.Stoica對定態(tài)的空間齊次Fokker-Planck-Boltzmann型方程進行了研究<'[6]>,他們證明了在能量或熵有限時非零平衡態(tài)是不存在的.而本文研究的是非定態(tài)的空間齊次Fokker-Planck-Boltzmann方程(FPB),我們在角截斷的硬位勢情形下,利用算子半群理論和由L.Arkeryd發(fā)展的緊性方法證明了當(dāng)初始值屬于L<'1><,2>(R<

4、'3>)時該方程古典解的整體存在性,質(zhì)量和動量守恒,并且建立了能量線性關(guān)系等式.我們思路是這樣的:先利用算子半群理論證明核有界時方程解的存在唯一性,緊接著對碰撞核進行截斷,證明截斷方程解的存在性,再利用緊性方法證明原方程溫和解的存在性,最后利用算子半群理論證明溫和解即是古典解.2002年,X.Lu和B.Wennberg在文章<'[7]>中指出,在沒有角截斷的硬位勢情形下,其弱解的能量是不減的,并且他們構(gòu)造出了能量隨時間連續(xù)增長的解,而且